0   引　言

阵列天线由于其在方向性、增益等方面表现出的优异性能，已被广泛应用于雷达监测、卫星通讯、医学诊断以及5G通信等领域^[1-3]。为了满足更高的需求，阵列天线规模越来越大(即阵元数越来越多)，阵元发生故障(即失效)的概率也越来越高。当失效阵元达到一定比例时，将会对整个阵列天线的性能产生影响，例如方向系数下降、增益降低、探测距离缩小以及旁瓣电平升高等。因此，对阵列天线中的失效阵元进行诊断具有重要的意义。

目前为止，已有大批学者对阵列天线故障诊断问题展开研究，大量的阵列天线故障诊断方法应运而生。其中，反向传播(back propagation, BP)算法^[4-5]和矩阵算法(matrix method, MM)^[6]是两种经典的方法。BP算法利用阵列天线孔径场和辐射场之间的傅里叶变换来识别失效单元。然而，为了提高分辨率，该算法须采用半波长测量策略，会使测量点数增加，导致时间成本显著提高。MM通过构造超定系统来增强矩阵求逆过程的稳定性，以此对阵列天线进行诊断。该方法要求测量数大于阵元数，对于大型阵列天线将耗费巨大的时间和技术成本。

此外，经典阵列天线故障诊断方法大多需要使用外部设备(如探针和矢量网络分析仪)同时采集辐射场的幅度和相位信息。事实上，随着天线工作频率的增加，受探头定位误差、温度变化、湿度变化以及接收器和发射器稳定性等因素的影响，相位测量的准确性将严重下降^[7]。因此，上述经典方法无法满足越来越高的应用需求，亟需寻找一种无相位测量的阵列天线故障诊断方法。

众所周知，无相位测量的阵列天线故障诊断是一类富有挑战的非线性问题；同时，由于观测点数通常少于阵元个数，无相位测量的阵列天线故障诊断也呈现不适定性。从解决非线性及不适定问题出发，国内外众多学者提出了一系列无相位测量的阵列天线故障诊断方法。

Morris提出了基于相位恢复的无相位测量阵列天线故障诊断方法，该方法借鉴了光学和天文学中相位还原相关理论，使用Misell算法成功还原了天线辐射场相位分布，有效解决了毫米波反射面天线诊断问题^[8]。但是，在低信噪比(signal to noise, SNR)情况下，该方法的误差往往大于预期值，诊断效果不甚理想。

经典的奈奎斯特-香农采样定理建立了采样速率与信号带宽之间的联系，而由文献[9-10]提出的压缩感知(compressed sensing, CS)却突破了这一理论的束缚。CS理论指出，只要观测信号在某个域内是稀疏或者可压缩的，那么在远低于奈奎斯特-香农采样定理所要求的采样数条件下，仍可以实现对原始信号的准确重构。实际上，失效单元个数往往远小于阵列天线单元总数。因此，可将CS理论引入无相位测量阵列天线故障诊断，以解决其内在的不适定性。

基于该思想，意大利卡拉布里亚大学Isernia教授团队^[11]最初提出了基于CS的无相位测量阵列天线故障诊断方法。该团队所提方法能够最大限度地减少测量点的数量，然而该方法只能大致定位故障阵元位置，诊断结果仍然存在较大误差。随后，成都电子科技大学张瑛副教授团队^[12]从贝叶斯理论出发，将阵元激励的最大后验概率问题转化为混合范数最小化问题，并利用交替方向乘子算法求解最值问题。由于该方法混合了L₁和L₂范数，因此迭代过程复杂且耗时。

近年来，利用机器学习获得输入数据与目标数据非线性映射的研究受到了前所未有的关注，部分学者已利用机器学习方法来解决无相位测量的阵列天线故障诊断问题。例如，文献[13]提出了一种基于人工神经网络(artificial neural network, ANN)的无相位测量阵列天线故障诊断方法，该方法通过训练ANN来获得阵元激励和辐射场之间的映射关系，利用训练后的网络模型预测阵列天线失效单元。文献[14]提出了一种等效偶极子模型与ANN相结合的无相位测量阵列天线故障诊断方法，该方法首先利用偶极子模型对阵列天线进行等效，然后利用ANN建立等效偶极子与辐射场之间的映射关系，最后利用训练后的网络模型预测阵列天线失效单元。尽管机器学习具有强大的非线性拟合能力和快速的预测能力，但这类方法需要大量数据作为输入，训练过程极为耗时，在实际场景中泛化能力也有限。

因此，本文提出了一种新的无相位测量阵列天线故障诊断方法。所提方法将测量数据缺失的相位信息看作相位误差(phase error, PE)，引入“相位误差矩阵”的概念；然后结合CS理论，利用迭代策略对相位误差矩阵和阵元激励进行求解，最终达到阵列天线故障诊断的目的。仿真结果表明，无论是理想平面阵还是矩形波导平面阵，所提方法都能准确定位故障阵元，且具有良好的鲁棒性。

1   问题描述

如图1所示，平面阵列天线由沿$x$轴均匀排列的$M$个阵元和沿$y$轴均匀排列的$N$个阵元组成。理想情况下，可将标准或无故障的阵列天线远场辐射方向图描述为

图  1  平面阵列天线几何模型

Fig.  1  Geometry of the planar array antenna

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式中：$u=\sin\ \theta\cos\ \varphi$；$\nu=\sin\ \theta\sin\ \varphi$；$\theta$和$\varphi$分别为观测点俯仰角和方位角；$w_{mn}^{{\text{ef}}}$为无故障阵列天线阵元激励；$\lambda$为波长；${x_{mn}} = m \cdot {d_x}$和${y_{mn}} = n \cdot {d_y}$分别为阵元横坐标和纵坐标；${d_x}$和${d_y}$分别为$x$和$y$方向上阵元间距。

当阵列天线存在故障时，其远场辐射方向图可描述为

式中，$w_{mn}^{\text{e}}$为故障阵列天线阵元激励。与大多数阵列天线故障诊断方法类似，本文只考虑阵元on-off故障类型，即假设阵元仅存在正常工作和完全失效两种状态。这样的话，故障阵列天线阵元激励可表示为

为了将阵列天线故障诊断问题引入CS理论框架，将式(1)和(2)进行差分处理，即

式中，${w_{mn}} = w_{mn}^{{\text{ef}}} - w_{mn}^{\text{e}}$为阵元激励的差值。考虑到实际测量中存在噪声，且一般假设噪声为加性高斯白噪声，则式(4)可改写为

式中，$\chi (u,v)$为噪声。

假设测量区域剖分为$L$个网格，则用于阵列天线故障诊断的线性系统可表示为

式中：${{\boldsymbol{y}}} = {[F({u_1},{v_1}), \cdot \cdot \cdot ,F({u_L},{v_L})]^{\text{T}}}$为测量数据组成的列向量；${{\boldsymbol{w}}} = \left\{ {{w_{mn}};m = 1, \cdot \cdot \cdot ,M,n = 1, \cdot \cdot \cdot ,N} \right\}$为阵元激励差值构成的列向量；${{\boldsymbol{n}}}$为噪声构成的列向量；${{\boldsymbol{A}}}$为观测矩阵，其表达式为

在无相位测量情况下，只有阵列天线远场辐射的幅度信息。此时，阵列天线故障诊断问题可表述为

式中，算符$\left| \cdot \right|$表示取模。

2   算法原理

显然，式(8)为非线性问题，难以直接进行求解。因此，首先利用相位误差矩阵来表征缺失的相位信息，表达式为

式中，${\phi _l}$为第$l$次测量缺失的相位信息。通过引入相位误差矩阵，可以将非线性问题转化为线性问题，即

进一步整理可得

式中，${{\boldsymbol{n}}' = }{{{\boldsymbol{\varPhi}} }^{ - 1}}{{\boldsymbol{n}}}$。

由于相位误差矩阵未知，对式(11)的求解则需联合优化${{\boldsymbol{\varPhi}} }$和${{\boldsymbol{w}}}$。另外，观测点数通常少于阵元个数，阵列天线故障诊断问题具有不适定性，对式(11)的求解还须引入先验信息来避免解的不稳定。因此，无相位测量的阵列天线故障诊断问题可转化为如下优化问题：

式中：${\left\| \cdot \right\|_2}$为L₂范数；$\alpha$为与噪声有关的正则化参数；$R({{\boldsymbol{w}}})$为表征先验信息的正则化项。

上述联合优化可以利用交替迭代更新思想来实现，则第$t + 1$次迭代包括如下两个操作：

1) 更新${{\boldsymbol{w}}}$

2) 更新${{\boldsymbol{\varPhi}} }$

式中，${{{\boldsymbol{\varPhi}} }^t}$为第$t$次迭代结果。

实际上，失效单元个数往往远小于阵列天线单元总数。利用该先验信息，式(13)可写为

式中，${\left\| \cdot \right\|_1}$为L₁范数。式(15)可通过经典CS算法进行求解，比如贝叶斯压缩感知(Bayesian compressive sensing, BCS)算法。

另外，考虑到某些天线无法用传统阵元激励表示，须用孔径场表征，而孔径场的差分形式往往呈现分段稀疏的特性。利用该先验信息，式(13)也可转化为

式中，$\Delta ( \cdot )$代表水平和垂直方向上的离散梯度。式(16)可通过全变分压缩感知(total variation compressive sampling, TVCS)算法进行求解。

接下来，介绍式(14)的求解过程。由于${{\boldsymbol{\varPhi}} }$与${\phi _l}$相关，因此可将$\left\| {\left| {{\boldsymbol{y}}} \right| - {{{\boldsymbol{\varPhi}} }^{ - 1}_{}}{{\boldsymbol{A}}}{{{\boldsymbol{w}}}^{t + 1}}} \right\|_2^2$对${\phi _l}$进行求导并令其等于0，即

对此式进行化简，则${\phi _l}$的表达式为

式中：算符$\angle ( \cdot )$表示提取相位；$\left| {{{\boldsymbol{y}}_l}} \right|$和${{{\boldsymbol{a}}}_l}$分别表示第$l$次测量数据和观测矩阵${{\boldsymbol{A}}}$的第$l$行。

算法流程如表1所示，其中$T$为最大迭代次数，$\delta$为很小的正实数。

表  1  算法流程

Tab.  1  Flow of the algorithm

输入：测量矩阵${{\boldsymbol{A}}}$，测量数据$\left| {{\boldsymbol{y}}} \right|$；
初始化：初始化相位误差矩阵${{{\boldsymbol{\varPhi}} }^0}$，迭代次数$t = 0$；
步骤1：根据式(15)或(16)更新${{{\boldsymbol{w}}}^{t + 1}}$；
步骤2：根据式(18)更新${{{\boldsymbol{\varPhi}} }^{t + 1}}$；
步骤3：若$\| {{{{\boldsymbol{w}}}^{t + 1}} - {{{\boldsymbol{w}}}^t}} \|_2^2/\| {{{{\boldsymbol{w}}}^t}} \|_2^2 < \delta$或$t = T$，执行终止，输出结果，否则令$t = t + 1$，返回步骤1；
输出：输出结果${{\boldsymbol{w}}}$。

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3   实验结果和性能分析

上述所提方法在更新${{\boldsymbol{w}}}$时讨论了两种情况，因此可将上文所提方法分别命名为PE-BCS和PE-TVCS。接下来，我们分别以理想平面阵和矩形波导平面阵为例，进行多次数值仿真实验，以验证所提方法的有效性。为了量化诊断效果，定义诊断误差为

式中，${\tilde {\boldsymbol{w}}}$和${{\boldsymbol{w}}}$分别为重建和真实的阵元激励差值。

3.1   理想平面阵

理想平面阵参数设置如下：$M = 20$，$N = 20$，${d_x} = 0.5\lambda$，${d_y} = 0.5\lambda$。假设故障阵元随机分布于天线阵，且失效率为$1\text{%}$和$2\text{%}$。同时，设置采样数$L = 1\;296$，SNR为$30{\text{ dB}}$。诊断结果如图2和图3所示，由于传统BCS方法没有考虑测量数据丢失的相位信息，其诊断结果不甚理想；而利用本文所提出的PE-BCS方法得到的结果则可以清晰显示故障阵元。图4为不同失效率下PE-BCS方法诊断误差随迭代次数的变化情况。结果显示，随着迭代次数的增加，PE-BCS方法的诊断误差逐渐减小，且在第100次迭代左右趋于平稳。

图  2  失效率为1%时的诊断结果

Fig.  2  Diagnosis results when failure rate is 1%

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图  3  失效率为2%时的诊断结果

Fig.  3  Diagnosis results when failure rate is 2%

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为了验证所提方法的鲁棒性，我们在测量数据中分别加入不同SNR的噪声，图5为不同失效率下PE-BCS方法诊断误差随SNR的变化情况。结果显示，随着SNR的增加，PE-BCS方法的诊断误差逐渐减小，当失效率为$1\text{%}$及${\text{SNR = 30 dB}}$时，其诊断误差为$- 20.33{\text{ dB}}$。

图  4  不同失效率下PE-BCS方法诊断误差随迭代次数的变化

Fig.  4  The diagnosis errors of PE-BCS method with the number of iterations under different failure rate

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图  5  不同失效率下PE-BCS方法诊断误差随SNR的变化

Fig.  5  The diagnosis errors of PE-BCS method with SNR under different failure rate

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最后，我们分析PE-BCS方法诊断结果随采样数$L$的变化情况，结果如图6所示。此时，固定失效率为2%及${\text{SNR = 30 dB}}$。由图6可知，随着采样数的增加，PE-BCS方法的诊断效果越来越好。同时，表2列举了传统BCS方法和PE-BCS方法在不同采样数下的诊断误差。对比分析表明：当$L = 324$时，PE-BCS方法的诊断误差为$- 2.06{\text{ dB}}$，当$L=1\ 296$时，降低到$- 14.54{\text{ dB}}$；而传统BCS方法的诊断误差基本不变，且其诊断效果不佳。

图  6  不同采样数下PE-BCS方法的诊断结果

Fig.  6  Diagnosis results of PE-BCS method under different sampling numbers

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表  2  不同采样数下两种方法的诊断误差

Tab.  2  Diagnosis errors of different methods under different sampling numbers dB

方法	L=324	L=400	L=900	L=1296
BCS	5.26	5.12	5.14	5.10
PE-BCS	−2.06	−5.48	−12.75	−14.54

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3.2   矩形波导平面阵

本实验中，测试算例为由$4 \times 5$个工作在$10{\text{ GHz}}$以及尺寸为$22{\text{ mm}} \times 10{\text{ mm}}$的WR90型开口矩形波导组成的阵列天线。当失效率为10%时，实际故障分布和诊断结果如图7所示。结果表明，传统TVCS方法由于缺少测量数据相位信息，无法对故障阵元的位置做出准确判断，而本文所提出PE-TVCS方法能够对故障阵元精准定位。

图  7  失效率为10%时的诊断结果

Fig.  7  Diagnosis results when failure rate is 10%

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图8为PE-TVCS方法在不同SNR下的诊断结果。结果显示，PE-TVCS方法在不同SNR下均能获得可接受的诊断效果。另外，图9显示了PE-TVCS 方法诊断效果随采样数$L$的变化情况。同样，PE-TVCS方法在不同采样数下均能获得可接受的诊断效果。

图  8  不同SNR下PE-TVCS方法的诊断结果

Fig.  8  Diagnosis results of PE-TVCS method under different SNR

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图  9  不同采样数下PE-TVCS方法的诊断结果

Fig.  9  Diagnosis results of PE-TVCS method under different sampling numbers

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4   结　论

本文提出了一种新的基于无相位测量的阵列天线故障诊断方法，该方法将难以测量的相位信息看作相位误差，构建了以相位误差为参数的信号模型，实现了相位误差与阵元激励的联合求解。针对理想平面阵和由矩形波导构成的实际天线阵，分别进行了多组数值仿真实验，结果表明本文所提方法在诊断两种阵列天线时均能准确定位故障阵元。同时，在低SNR及低采样率情况下，本文所提方法也能获得可接受的诊断效果。

在问题描述部分，本文利用理想模型对阵列天线远场辐射方向图进行了建模。实际上，阵列天线远场辐射方向图还与阵元方向图和阵元互耦等因素有关。因此，后续我们将进一步研究考虑阵元方向图和阵元互耦的无相位测量阵列天线故障诊断方法。