Progress in computational electromagnetic methods
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摘要:
文章概要介绍了电磁计算方法的研究进展.首先对电磁计算方法的发展进行了概述.其次，对近些年发展出来的若干代表性电磁计算技术，包括快速直接法、非共形区域分解法、高性能并行技术等的发展进行了阐述.再次，对典型电磁计算问题，包括地海复合目标、大规模有限周期结构、电磁逆问题等电磁计算技术的发展进行了简要阐述.最后，对电磁计算方法的发展进行了总结和展望.
Abstract:This paper briefly presents the development in computational electromagnetic methods. First, the development of computational electromagnetic methods is outlined. Then, the development of several recent representative technologies in computational electromagnetics are elaborated, including fast direct solver, non-conformal domain decomposition, and high-performance parallelization. Next, the advances in computing typical electromagnetic problems, including target-background composite problems, large-scale finite-period structures, and electromagnetic inverse problems, are presented. Finally, summary and outlook of computational electromagnetic methods are given.
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引言
电磁计算自20世纪60年代兴起以来, 已逐渐发展成为电子技术发展的支柱学科之一, 对雷达探测、隐身、天线、复杂电磁环境预测、集成电路等技术发展发挥了极其重要的作用.本专栏文章旨在对电磁计算的发展作一粗线条的梳理, 以便读者能在较短时间内对电磁计算发展有一个概要性认识.电磁计算发展有两个驱动:一个是计算方法本身对精度和效率内在追求的驱动; 另一个是实际电磁问题计算需求的驱动.本文拟从以下三个方面对电磁计算发展作一综述:1)电磁计算发展概述; 2)电磁计算若干代表性技术; 3)典型电磁问题计算的发展.
1 电磁计算发展概述
20世纪60年代以前, 对麦克斯韦方程组的求解, 大多采用解析方法.著名的Mie级数展开便属于此类方法.这种方法目前已成为校验其他电磁计算方法计算精度的标准.然而由于解析方法只适用于简单规则目标体, 如球、无限长圆柱等, 因此使用范围极其有限.早期求解麦克斯韦方程的方法, 还有高频近似方法, 包括物理光学法(physical optics, PO)[1]、物理绕射理论(physical theory of diffraction, PTD)[2]等, 几何光学(geometrical optics, GO)[3]、几何绕射理论(geometrical theory of diffraction, GTD)[4]、一致性几何绕射理论(uniform theory of diffraction UTD)[5].这类方法利用了高频近似, 本质上是一种精度不可控的近似方法, 一般只适用于目标尺寸远大于波长的问题.
20世纪60年代以来, 随着计算机的发展, 全波数值方法或低频方法全面兴起.全波数值方法是将麦克斯韦方程的微分或积分形式进行离散, 不引入其他任何近似, 因此是一类计算精度严格可控的方法.但是, 全波数值方法所需计算内存和计算量都很大.全波数值方法主要可分为基于微分方程和基于积分方程两类:基于微分方程的方法主要有时域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)法[6]和有限元法(finite element method, FEM)[7]; 基于积分方程的方法一般称为矩量法(method of moments, MoM)[8], 按照所用积分方程的不同又可分为面积分方程MoM和体积分方程MoM.FDTD方法由K. S. Yee在20世纪60年代首先提出, 是一种时域方法, 采用差分直接离散时域麦克斯韦方程.FEM是离散与原问题等价的泛函变分形式, P. P. Silvester在20世纪60年代末首先将该方法用于波导本征值问题的求解.MoM是离散积分方程, K. K. Mei在20世纪60年代初首先将其应用于二维散射问题的求解.这三种方法经过三十余年的发展, 到20世纪90年代都已发展得较为成熟, 都分别产生了相应的以每种方法为基础的电磁计算软件.
20世纪90年代到21世纪初是电磁计算发展的又一阶段, 这一阶段最重要的进展有两方面:
首先是以多层快速多极子技术(multi-level fast multipole algorithm, MLFMA)、共轭梯度-快速傅里叶变换技术为代表的电磁快速算法的提出与实现, 极大地提高了电磁计算方法的计算能力与效率.MoM求解能自动满足远区辐射条件的积分方程, 无需像有限差分和MoM那样采用近似边界条件截断, 具有精确性和高效性, 特别适合于辐射、散射等开域问题.然而, MoM最终形成满阵方程, 即便是采用迭代方法, 其存储和计算复杂度很高(O(N2)), 因此只适用于电小尺寸问题, 极大限制了其在实际问题求解中的应用.为了提高MoM的计算能力, 各种快速算法被相继提出[9-12], 其中以MLFMA最具代表性.MLFMA将原MoM中任意两点间的直接相互作用转化为多层、分组方式的组间相互作用, 将MoM的计算复杂度降低到O(Nlg N), 最大计算规模由数个波长增加到几十上百波长.MLFMA的提出与应用, 从根本上提高了电磁计算的能力, 推动电磁计算走向了工程应用.
其次是不同形式、不同方法间组合形成的混合法.典型的混合形式有全波-高频混合, 如混合FEM-弹跳射线(shooting and bouncing ray, SBR)方法[13]、混合MoM-SBR[14]等; 高频-高频混合, 如糅合多种高频方法处理手段的SBR方法[15]; 全波-全波混合, 如混合FEM-边界元-MLFMA(合元极)[16], 混合体积分-面积分方程法[17].混合法虽没有提高单一组成算法的计算效率, 但通过不同算法间融合, 取长补短, 可以从整体上实现对同一问题远超单一算法的高效率或者高精度效果, 从而实现对挑战性电磁问题的求解.
2000年以后, 电磁计算的发展又进入了一个新阶段, 下面第二部分将着重阐述这一阶段的几项代表性技术.
2 电磁计算若干代表性技术
近二十年电磁计算技术在很多方面都有发展, 下面着重阐述三个较为突出的方面:快速直接法、非共形区域分解技术以及高性能并行计算.
2.1 快速直接法
全波方法中除有限差分方法外, FEM和MoM最终都要生成一个待求解的矩阵方程系统.矩阵方程的求解方法可粗分为直接法与迭代法两类:直接法精度高, 能保证矩阵方程在有限次计算操作后得到求解, 但计算复杂度高, 计算规模受到限制; 迭代法计算复杂度低, 可用于求解大规模问题.大多快速算法, 如MLFMA都应用迭代法实现矩阵方程的求解, 但迭代法效率取决于矩阵性态, 用于求解病态问题时的收敛不可预知.预处理技术虽可以加速收敛, 但在许多情况下预处理器的构造也比较耗时, 甚至难以寻找到合适的预处理方法.此外, 迭代方法在求解多右端项(multiple right hand sides)问题时效率较低.
快速直接求解(fast direct solver)方法能够有效地解决传统直接法和迭代法的不足.现有的快速直接求解方法常和低秩压缩算法结合, 利用相互分离的基函数组之间的低秩特性, 将系统矩阵分割压缩成多层稀疏化表示形式.电磁积分方程的格林函数具备近似可分性, 可用相应核函数的可分展开式来高效处理; 对于偏微分算子而言, 其逆算子具有积分算子的性质.因此, MoM离散生成的满阵和FEM生成的稀疏矩阵的逆矩阵能用低秩矩阵来高效近似.利用低秩矩阵的数值特性, 可以实现低秩矩阵的快速相加、相乘等算法, 进而可以快速得出其逆矩阵或LU分解形式.因此, 整个求逆过程的计算复杂度相较于传统的高斯消元或LU分解可以得到极大的降低, 存储复杂度也有很大的减少.同时这些方法具有精度可控的特点, 可以通过控制低秩矩阵的秩实现精度控制.
快速直接求解技术的框架早在20世纪90年代便已由数学家提出[18], 但直到近年, 随着不同的快速低秩分解方法的提出, 直接求解方法才在电磁计算领域得到了很大发展.
在积分方程快速直接求解技术方面, J. F. Lee等人在2005年左右开发出多层自适应交叉近似(adaptive cross approximation, ACA)矩阵分解算法[19], J. Shaeffer在2008年利用多层ACA成功地求解了超过一百万未知量的问题[20].W. Chai和D. Jiao将分层矩阵(H-matrix)及其改进形式H2-matrix引入到电磁学领域[21], 用于准静态问题的大规模集成电路电磁参数提取, 并持续进行了深入长久的研究.数值算例表明对此类问题, 计算复杂度在低频可以达到线性复杂度, 对于电动力学问题可以达到O(Nlg N)复杂度.J. G. Wei和J. F. Lee于2012年将骨架化算法(Skeletonization)引入电磁积分方程的计算中, 该方法利用惠更斯等效面加速对骨元基函数(Skeletons)的选取, 极大地降低了计算复杂度[22].Z. Rong等人在2019年利用分层矩阵的特殊形式分层非对角低秩矩阵(hierarchically off-diagonal low-rank, HODLR)并提出了改进型方法[23], 提升了计算效率.H. Guo和E. Michielssen等人于2013年在对多层矩阵分解(multilevel matrix decomposition algorithm, MLMDA)对于积分方程逆算子的可压缩性验证之后, 随后在2017年提出了基于蝶形算法(Butterfly Scheme)的快速直接求解方法[24].该方法充分利用了蝶形算法在高频问题时的优势, 利用随机化重构方法, 可以达到O(N1.5lg N)的求逆复杂度以及O(Nlg2N)的存储复杂度, 并进一步结合MPI-OpenMP混合并行方法, 成功求解了超过1 000万未知量的电大复杂散射问题.
有限元矩阵自身具有稀疏特性, 因此其矩阵本身无需进行任何压缩存储, 但其逆矩阵可通过低秩分解进行高效压缩.与积分方程不同的是, 稀疏矩阵直接求解时, 需要进行矩阵元素的重排序以减少后续分解过程中非零元的填充.2010年, H. Liu证明了电动问题有限元矩阵逆的H-matrix稀疏形式的存在并将其应用于电磁问题有限元矩阵的快速直接求解[25].数值算例表明, 基于分层矩阵的有限元稀疏矩阵快速直接求解器精度可控且优于传统多波前等直接求解技术.2015年, B. Zhou和D. Jiao将多波前的思想与分层矩阵结合起来, 实现了一种对电路结构、天线阵列等具有线性复杂度的快速直接求解技术[26], 并计算了2 000余万未知量模拟的工业产品级复杂电路结构.但以上研究中数值算例讨论的结构特点都是在某一维度上远小于其他维度, 在这种情况下, 虽然仍为三维电动问题, 但互耦合作用, 也即非对角块矩阵的秩衰减很快, 可以近似认为小于一常数, 因此才能获得与准静态和静态问题类似的优异计算复杂度.对于目标在三个维度可比拟的情况下, 代表特定远场区耦合的矩阵块的秩随着频率的增加而不断增加, 基于低秩压缩的快速算法不再保持其优异的计算复杂度性能[27].
虽然目前直接法的计算规模尚远不足以比拟MLFMA等快速迭代算法, 且面向复杂工程需求, 仍有很多亟待解决的挑战需要解决, 但随着高性能计算技术的发展, 现代应用数学的不断进步和崭新数值计算方法的不断涌现, 直接求解器在电磁计算领域的应用前景仍十分广阔.
2.2 非共形区域分解方法
区域分解算法是实现大规模电磁问题求解的有效途径.其基本思想是“分而治之”, 将原计算区域分解为若干个子区域, 通过某种手段分别求解再综合.区域分解算法易于并行, 与非共形技术结合后, 可进一步降低目标建模与网格划分的难度, 近年来在计算电磁领域引起广泛关注.广义的区域分解可以是如合元极这种将整个有限元区域与整个积分方程区域分别作为一个独立区域的区域分解方法.在此, 区域分解特指将一个独立计算区域分解为许多个小区域的方式.区域分解算法根据子区域间是否存在重叠可分为重叠型与非重叠型, 从两子区域交界面处网格是否一致的角度又可进一步分为共形与非共形两类.非重叠型区域分解处理方便, 节省资源, 更为实用.区域分解技术在有限元和积分方程中的作用和实施有很大不同.
区域分解FEM可分为施瓦茨型(Schwarz)和有限元撕裂对接型(finite element tearing and interconnecting, FETI)两类.施瓦茨型区域分解FEM在电磁领域的应用开始较早.1992年, Després首先将基于Robin传输边界条件的施瓦茨型区域分解FEM应用于时谐麦克斯韦方程的求解[28].此种方法各子区域间交替迭代, 因此对电大复杂问题计算效率难以保证.针对此问题, S. C. Lee和J. F. Lee等人提出了基于辅助粘合变量的改进型施瓦茨区域分解FEM[29].此方法在交界面上分别引入未知的等效电流, 非常适合处理非共形网格.为进一步提高此方法的计算效率, M.Vouvakis和J.F. Lee等人对上述改进型施瓦茨型区域分解FEM进行了进一步优化, 将最终求解的矩阵方程系统缩减为仅包含交界面上的辅助粘合变量[30].Z. Lu和W. Hong等人针对此方法的矩阵特点, 提出了一种块对称超松弛(block symmetric successive over relaxation, SSOR)预处理技术[31], 以牺牲并行性为代价, 提高方法的数值可扩展性.2011年, Z. Peng和J. F. Lee通过在交界面上采用完全二阶Robin传输边界条件, 并对角边进行附加项的特殊处理方式, 在保持原施瓦茨区域分解网格处理灵活自由、高并行性的基础上, 从根本上提高了其数值可扩展性, 形成了目前最为有效、实用的施瓦茨型非共形区域分解FEM实现方法[32].
FETI区域分解FEM首先由C. Farhart和F. X. Roux在结构力学领域提出[33], C. T. Wolfe等人将其引入电磁领域并实现对矢量波动方程的求解[34].FETI在子区域交界面上引入描述边界连续条件的双重变量-拉格朗日乘子, 经一系列数学变换, 将原有限元系统变为关于交界面上双重变量的矩阵方程系统.此矩阵方程系统可采用迭代方法快速求解.在交界面方程系统求解后, 各子区域内的场值可分别根据双重变量表示的边界条件独立求解.当存在三个以上子区域的共有角边时, 传统的FETI区域分解技术处理存在问题.Y. J. Li和J.M. Jin于2006年提出了电磁领域的FETI-DPEM方法[35], 通过将角边作为全局变量, 形成全局的角边预处理系统加速最终交界面上双重变量方程系统的迭代收敛性, 并取得了良好效果.之后, 在此工作基础上, 他们进一步将Robin传输边界条件引入, 在交界面上两个区域内分别引入拉格朗日乘子, 提高该算法在高频问题上的数值可扩展性[36].针对非共形网格情况下全局角边系统和交界面处理, M. F. Xue和J.M.Jin设计了主、从角边的处理方案, 并基于辅助粘合变量和拉格朗日乘子分别提出了两种具有几乎相同数值特性的非共形撕裂对接区域分解有限元技术[37].
有限元区域分解技术, 将有限元矩阵直接求解中的部分计算用迭代方法实现, 相比常用的直接求解技术从根本上降低了求解的计算复杂度.此外, 区域分解自身的高并行度, 使方法本身非常易于并行.
面积分方程的区域分解技术可以分为重叠型与非重叠型两类.与FEM类似, 积分方程的重叠型区域分解出现的也较非重叠型早.2004年, C. Brennan等人提出了一种比较通用的三维电磁散射问题电场积分方程的前后向缓冲区(forward and backward buffer region, FBBR)迭代方案[38], 通过设定一定尺寸的单边缓冲区确保迭代收敛性.在此基础上, W.D. Li等人提出了采用多边缓冲区的金属体问题面积分方程重叠型区域分解方法(overlapped domain decomposition method, ODDM)[39], 并进一步推广到非金属问题[40].重叠型区域分解缓冲区构造极为繁琐, 是限制其应用的主要瓶颈.
为解决重叠型区域分解技术的弊端, 非重叠区域分解技术被提出并得到不断改进.非重叠区域分解技术可进一步分为封闭式(体分解)与非封闭式(面分解)两类.封闭式非重叠区域分解将目标体分解为不重叠的子区域, 在离散的子区域上引入人工表面使整个子区域的外表面闭合, 子区域间通过等效原理或传输条件联接起来, 因此相比重叠型区域离散更为简单, 更易实施[41].针对薄厚度金属腔体问题, J. Hu和R. Zhao等人提出CAV-DDM[42], 通过口径面建立传输条件来保证电流、磁流连续性, 有效地改善了积分方程方法求解薄厚度腔体问题的收敛性.M. Jiang等人采用逆算子自洽算法用于虚拟交界面处非共性网格对应的传输矩阵计算, 提高了封闭式非重叠区域分解的灵活性[43].此外, 封闭式非重叠区域分解被进一步推广应用到介质问题和薄涂敷问题并获得很好的效果[44-45].针对封闭式非重叠区域分解人工表面构建带来的区域划分难度增加、相比传统面积分方程离散引入额外未知数的弊端, Z. Peng等人提出并实现了积分方程的间断伽辽金技术[46], 并将其与区域分解思想结合, 开发出了面分解的非重叠区域分解积分方程技术.此种区域分解技术将原目标的外表面分解为不闭合的面子区域, 在子区域交界上引入电流连续性条件保证解的等效性.在已有工作基础上, Z. Peng等人通过在子区域交界上引入内罚项的方式来改善矩阵性态, 并构建了高效的预处理器[47].近期, 此种方法被B. B. Kong和X. Q. Sheng进一步推广到多尺度均匀介质目标散射问题, 尤其澄清了内罚项的作用, 系统论证了间断伽辽金方法的最佳表达形式[48].
积分方程区域分解技术并没有降低矩阵方程迭代求解的计算复杂度, 但可以带来建模、网格剖分、预处理构建的灵活性.与有限元区域分解类似, 积分方程区域分解也具有很高的并行度, 使得方法本身非常易于并行.MLFMA与积分方程区域分解技术的结合可以从根本上提高方法的计算能力.当目标电尺寸很大时, MLFMA的并行将成为计算主要瓶颈.
显然, 针对单一方法, 如FEM或积分方程法的非共形区域分解技术也可以引入到相关混合方法中来, 提高混合方法的建模简便性以及计算效率.在这一思想指引下, 基于区域分解的合元极技术在近几年获得了长足的进步, 相比原合元极方法计算能力和效率有了很大提升.区域分解技术与合元极技术的结合并非是单一方法中区域分解技术的简单接入, 如何进行有限元子区域间联结、积分方程子区域间联结, 以及有限元与积分方程间子区域联结, 可选形式较多, 形成的方法效率不一.M. L. Yang和X. Q. Sheng等人首先成功实现将撕裂对接区域分解有限元技术引入到合元极中, 开发出了一种基于FETI-DP的共形区域分解合元极方法, 并对该方法进行了并行化[49].该方法极大改善了传统合元极方法的收敛性, 特别是对有吸收材料问题收敛很快, 具有很好的数值可扩展性.针对无吸收结构, 在此基础上又进一步提出了区域分解合元极预处理技术[50], 设计了内外双重迭代的求解方法.此技术的本质是使用FETI-DP方法求解一个基于FEM-ABC的合元极预处理矩阵.H. W. Gao和X. Q. Sheng等人将有限元非共形FETI-DP区域分解技术引入到合元极中, 讨论了基于拉格朗日乘子和辅助粘合变量的非共形区域合元极不同联结边界条件下最终区域分解合元极方程的数值性能和最佳的实现形式[51].近期, H. W. Gao, Z. Peng和X.Q.Sheng又将非共形区域分解积分方程技术引入到合元极技术当中, 开发出了完全型非共形区域分解合元极技术[52], 进一步提升了合元极技术的计算能力.P. H. Jia和J. Hu等人进一步将叠层矩阵快速直接求解技术应用于非共形区域分解合元极技术预处理矩阵的构建中[53], 利用低秩压缩显著降低了预处理矩阵构建的资源需求.随后, P. H. Jia和J. Hu等人为了分析电大尺寸平台兼有电小精细结构目标的电磁特性, 提出了一种基于有限元边界积分方法的双重区域分解方法[54], 并且应用到电大尺寸多尺度复杂整机目标的电磁特性仿真中.
非共形区域分解技术与合元极技术的结合, 既降低了有限元矩阵求解的计算复杂度, 又带来了网格处理、建模的便宜性, 同时易于大规模并行, 因此具有非常大的发展潜力.
2.3 高性能并行
高性能并行是提升电磁算法计算效率和计算规模的最为直接有效的手段.近年来, 计算机硬件水平的快速提升极大提高了计算电磁方法的计算能力.在三种常规数值算法中, 有限差分方法本身具有计算密集性和通信局部性, 因此非常易于并行.2001年, C.Guiffaut和K. Mahdjoubi系统阐述了基于MPI消息传递机制实现FDTD并行计算的原理[55], 目前国内外对FDTD算法的并行化实现研究已经基本成熟, 并行FDTD技术被广泛应用.传统FEM的并行化主要是求解方法的并行化, 如并行迭代法、并行直接法, 但前者效率取决于矩阵性态, 后者很难做到高效的大规模并行.虽然多重网格方法, 包括代数多重网格与几何多重网格方法广义上也是一种分解方法, 也能做到比较好的并行效果, 但目前电磁计算领域应用大规模并行的有限元大多是基于区域分解的.Y. J. Li等人在2009年实现了三维电磁问题的并行FETI-DP区域分解有限元求解, 将有限元子区域均匀地离散到各进程上以实现负载划分[56].W. J. Wang等人基于并行编程框架(J parallel adaptive unstructured mesh applications infrastructure, JAUMIN)和区域分解技术, 提出了一种适合于大规模并行的双级并行方案, 对复杂舰船目标、导弹等一系列挑战性目标进行了大规模并行计算, 并行规模达9 600核, 模拟未知数30亿[57].近期, R. Q. Liu等人提出并实现了一种分级并行区域分解有限元技术, 通过设定进程级、计算单元级两级子区域划分, 实现了进程间通信的最小化.此外, 构建了一种高效、无通信的BD-SGS预处理技术, 并实现了对103亿未知数模拟飞机目标的19 200进程高效并行求解[58].
经典MoM的并行实现可以采用简单的分块方式进行, 无论是满阵的直接求解还是迭代法求解都可以做到很高的并行效率.但受限于其极高的计算复杂度, 即便是在非常大规模的高性能并行平台上高效并行后, 对实际目标的计算能力也远不如在一台普通工作站上串行快速算法, 如MLFMA的计算能力.快速算法高效, 但实施困难, 并行也面临诸多挑战.MLFMA的并行历来是计算电磁领域的一个重点、难点问题.电磁领域MLFMA在高层盒子少, 盒子内平面波数多; 低层盒子多, 盒子内平面波数少.2003年, S. Velamparambil等人提出了混合并行方案, 成功实施了1 000万未知数模拟目标的并行MLFMA计算[59].在此并行方案中, 将多极子树结构分为高层与低层两类.在低层, 盒子数目多, 采用按盒子并行的方式进行负载划分; 在高层, 盒子数目少但每个盒子内的平面波数目大, 按平面波方向离散.高、低层间形成过渡层来实现两种并行方式的过渡.基于此混合并行方案, X. M. Pan和X.Q.Sheng等人将MLFMA求解的未知数最大规模提高到1.3亿[60], 并通过混合MPI+OpenMP的并行方式进一步提高到10亿[61].混合型并行方案在进程选择上十分灵活, 但对于给定目标, 当并行进程规数进一步增大时, 对于中间的某些层, 无论按照平面波并行或是盒子并行, 都无法实现良好的负载均衡, 因此大规模并行应用上存在限制.针对此弊端, Ö. Ü. Ergul等人提出了叠层型并行方案, 采取进程与盒子逐层递归二分, 盒子内平面波在对应进程组内按方向离散的方式进行多极子树结构的离散[62].此种并行方式可较好地避免混合型并行方案在中间部分层的负载不均衡问题, 但并行进程数只能为2n.叠层并行方案只将盒子内平面波按照θ方向离散, 相邻两层间呈两倍关系变化, 小于盒子的4倍变化率.因此, 当并行规模进一步扩大时, 叠层并行方案亦会面临混合型并行方案相似的部分层负载不均衡问题.B. Michiels等人对其进行了改进, 在θ方向离散的同时, 对φ方向也进行离散, 提出了一种分块叠层并行方案并成功实现对30亿未知量模拟目标的千核并行求解[63].此并行方案非常适合于大规模并行, 并行效率高, 但进程数的限制被进一步提高到4n, 灵活性大大降低.针对现有MLFMA并行方案的弊端, M. L. Yang和X. Q. Sheng等人在已有混合方案研究基础上, 将按平面波并行、按盒子并行和等级结构并行三种离散方式有机结合, 提出了一种新型三元并行方案, 综合并行可扩展性、并行进程选择灵活性最佳, 并基于三元并行MLFMA, 成功实施了对12 000波长、100亿未知数模拟电超大实际目标的计算[64].
除纯MLFMA的并行外, 另一主要研究方向为FMM-FFT混合并行[65], 此种技术对多极子远相互作用部分按平面波方向离散, 采用FFT来加速转移算子计算.此种方法的计算复杂度为O(N4/3lg2/3N), 高于并行MLFMA.FMM-FFT被进一步发展为MLFMA-FFT混合进程、线程并行模式[66], 进程间FFT并行, 进程内MLFMA多线程计算.基于FFT的并行方式, 相比纯MLFMA并行, 具有较高的并行效率, 更适合于大规模并行, 但在计算效率和灵活性方面要逊色于MLFMA.
以上只讨论了近二十年电磁计算技术在三个方面的发展, 其实电磁计算技术还体现在很多方面, 譬如时域计算技术[67-71]、辛算法[72-76]、高频计算技术[77-81]、预条件技术[82-84], 由于版面等原因, 在此就不阐述了.其中时域计算技术、辛算法、高频计算技术在本专刊中还有专门论文阐述.
3 典型电磁问题计算的发展
理论上, 全波数值方法如FEM、MoM、FDTD是通用的, 可以应用于求解任意问题.但实际工程应用中, 除计算精度外, 考虑更多的是计算能力和计算效率.实际工程中极具挑战性的电磁计算问题有很多, 如超电大隐身目标、电大深腔目标、电大多层天线罩等, 固然这些问题可以直接尝试应用全波数值电磁算法求解, 但计算效率与能力远远不能满足实际需求, 这就需要针对特殊问题专门设计计算方案.因此, 随着电磁计算方法发展逐渐成熟, 电磁计算研究的重心也逐渐从一般方法的研究转移到针对电子行业具体应用的技术研究.限于文章篇幅, 我们只针对以下几类典型问题电磁计算方法的发展脉络进行梳理.
3.1 地海复合目标
目标与复杂地海环境复合电磁散射研究一直是电磁领域一大重要课题.该问题研究对处于复杂背景中的目标探测(海上舰船目标, 地上坦克目标等)、资源勘探(浅层地下矿物质勘探)等发挥着巨大作用.自从20世纪90年代以来, 国内外学者对粗糙地海面与目标复合散射理论研究有了突飞猛进的发展, 形成了三类主要方法:高频近似方法、低频数值方法以及高低频混合方法.高频近似方法由于其计算机内存需求小、计算效率高的优点而被广泛用于解决电大尺寸(尤其是超电大尺寸)粗糙面与目标复合散射问题.该方法主要分为两类, 一类是射线类; 一类为电流迭代类.
射线类方法中最典型的是美国俄亥俄州立大学的Johnson教授提出的“四路径”模型(four-path model)[85].但是“四路径”模型只分析了四条路径的作用, 实际地海面与目标复合电磁散射中存在的路径远多于四条.针对这种情况国内外学者利用SBR或者射线追踪(ray tracing, RT)方法对目标与复杂地海背景复合电磁散射进行了研究.
国内外学者还依据迭代电流的思想对复合问题进行了研究, 该类方法的思路是依据惠更斯原理不断迭代粗糙面及目标上的感应电磁流直至稳定值.Sarabandi等人将迭代物理光学(iterative physical optics, IPO)法的思想由腔体电磁散射计算扩展到单纯海面电磁散射中[86].西安电子科技大学郭立新教授、电子科技大学杨伟[87]等人将IPO和PO-PO方法应用到目标与地海面复合电磁散射中.
低频数值方法通过直接求解特定条件下的积分(或微分)方程获得空间中的场分布, 可以直接考虑目标与粗糙面之间的多重耦合作用, 算法通用性较强且计算结果非常精确.数值方法主要包含MoM, FEM, FDTD法, 时域积分方法四类方法.宾夕法尼亚州立大学Wang等人利用MoM对粗糙面与上下方目标及部分埋藏目标复合电磁散射特性进行了仿真.此外为了提高MoM求解效率很多加速算法被相继提出, 最具代表性的是快速多极子(fast multiple method, FMM)和MLFMA.郭立新教授课题组等采用时域积分方程(time-domain integral equation, TDIE)研究了一维粗糙面上方导体目标的瞬态散射特性[88].该课题组还采用FEM-共形完全匹配层(perfectly matched layer, PML)、FEM-BIM等方法分析了介质粗糙面上方以及分层粗糙面下方埋藏目标的散射特性[89].L. Kuang和Y. Q. Jin采用FDTD方法计算了二维粗糙面上方/漂浮目标的电磁散射[90].杜克大学利用多分辨时域算法(multiresolution time-domain method, MRTD)[91]针对粗糙面下方埋藏目标研究的探测、成像问题进行了研究.但是上述数值算法存在所需内存大、仿真效率低下的问题, 严重限制了低频数值类方法适用范围.
国内外学者还提出了许多高低频混合方法.混合方法的基本思想是采用数值方法处理具有精细结构的目标, 采用高频近似方法计算粗糙面的散射信息, 目标和粗糙面之间的多重耦合作用采用特殊的方式进行考虑, 这种策略可以在保障较高计算精度的同时降低内存消耗、提高计算效率.复旦大学金亚秋教授等人[92]、北京理工大学盛新庆教授等人[93]基于迭代策略提出一种KA与MoM、MLFMA的混合方法，用于快速求解任意目标与粗糙地海面的复合电磁散射特性.
3.2 大规模有限周期结构
周期结构在阵列天线、频率选择表面和超材料方面都有着广泛的应用, 而针对大规模有限周期结构电磁散射、辐射特性的快速算法也一直是计算电磁学的热点与难点.在不考虑利用结构周期性进一步提高计算效率的前提下, 常规数值算法同样适用于有限周期结构的电磁仿真.此时, 将周期性结构作为一般性结构整体建模离散, 进行仿真计算.此种方法计算效率并非最优, 规模往往受到很大限制.然若充分利用有限周期结构的周期性, 复用计算过程中的部分矩阵或其逆矩阵, 则可以在很大程度上减少计算资源, 提高计算效率.
有限元区域分解方法特别适用于处理有限周期结构.根据有限元区域分解方法理论可知, 各有限元子区域矩阵直接求解过程占据了整个方法的绝大部分内存, 如LU分解形成的上、下三角矩阵因子.对于有限周期结构, 有限元矩阵及其逆矩阵具有可复用性, 也即对于同样的结构, 只要其剖分网格、单元相关组成元素的编号顺序相同, 那其形成的有限元矩阵和矩阵的逆就是完全相同的.因此, 可以仅组装并求解几个代表性单元来完成整个区域分解的求解过程.对于常见的二维棋盘型周期结构, 如天线阵列或频选, 仅包含四角、四角边、内部的9个代表性单元, 且代表性单元的数目、规模不随有限周期性结构的规模扩大而扩大, 甚至在合理的处理方式下, 迭代步数也能保持接近常数, 因此表现出很好的数值可扩展性和很强的计算能力[36-39].当对计算精度要求较高时, 基于区域分解有限元的区域分解型合元极可以在兼顾效率的情况下满足高精度要求[50-51].
子全域基函数在近年来也有很多学者在跟踪研究.2004年, W. B. Lu等人第一次提出了子全域基函数方法[94], 将原先大规模周期阵列问题, 分解成两个小问题.从原始阵列之中, 根据位置关系, 提取出包含主要耦合作用的小阵列, 进而用MoM求解得出相对应位置的子全域基函数, 然后拓展至整个阵列.这个方法的优点是每个单元只有一个全域基函数, 对原始MoM阻抗矩阵可以大大地缩减.随后在2007年, W. B. Lu等人利用FMM-CG-FFT进一步加速子全域基函数方法[95], 进而求解了超大规模的有限周期阵列.近期, W. B. Lu等人进一步结合多重平面波入射的方法, 补充了耦合作用, 拓展了子全域基函数方法, 新的子全域基函数方法可以精确处理连接结构的周期结构[96].
此外, 也有各种不同形式处理周期性结构的混合方法, 如利用周期格林函数和MoM结合[97], 利用等效原理和特征基函数的混合方法[98].
3.3 电磁逆问题
逆问题(亦称反问题)是电磁探测的理论模型.在计算电磁学中, 正问题一般是在给定边界条件和材料参数后, 求区域内电磁场分布; 逆问题通常从测量的电磁数据出发, 反演被测目标的材料参数或几何结构.电磁逆问题是一个非线性的病态问题, 求解困难.随着计算能力和传感器性能的提高, 逆问题算法不断发展, 实际应用中的很多关键问题都得到了较好解决.
受限于计算能力, 早期的逆问题研究多用一维物理模型简化, 反演未知数较少, 可以通过解析推导直接求解, 比如从电磁回波反演平面分层介质介电常数的Gelfand-Levitan-Marchenko方法[99].这些方法概念清晰、计算复杂度低, 可以有效求解一维逆问题, 但高维问题的解析公式推导非常复杂, 计算量大, 因此应用受限.
电磁逆问题算法以正问题为基础, 高维逆问题可用简化的物理模型求解.比如波恩近似[100]忽略电磁波传播中的多次折反射, 使逆问题线性化, 实现稳定求解.在雷达成像中经常用到的线性反投影、多重信号分类(multiple signal classification, MUSIC)、DORT、线性采样、时间反演等方法, 都基于这个思路实现探测区域成像和目标定位.这类方法成像速度较快, 但物理模型的简化降低了成像精度, 如果存在较强多次折反射, 图像会有明显的伪影, 影响判读.
随着计算能力的提升, 我们可在逆问题中用全波建模, 得到更精确的重建结果, 实现超分辨成像.比如, 变形波恩迭代算法通过数值格林函数迭代更新背景参数, 使多次折反射等非线性因素也能被精确建模, 提高了反演的精度[101].对比源反演算法通过引入对比源作为中间变量, 降低了问题的非线性, 并将正问题和逆问题同时优化求解, 提高了收敛速度[102].这些方法已经被成功应用于微波数据三维反演中.
实际中的测量数据受多种因素影响, 数值方法无法完全建模.在这种情况下, 逆问题可以描述为基于先验信息和测量数据估计待求参数后验概率分布的过程, 并用贝叶斯方法求解[103].假设数据中的噪声符合高斯分布, 该问题可转化为一个优化问题, 即寻找能使测量数据与仿真数据差距最小的模型参数.因此, 逆问题可用优化方法求解[104], 比如最速下降法、高斯-牛顿法、共轭梯度法等, 还可使用随机优化方法, 比如模拟退火算法、遗传算法、蠕虫算法等.这些方法在工业监测、地球物理勘探等领域已经获得了广泛应用.
近年来, 电磁探测发展迅速, 越来越多的电磁数据解释可应用逆问题算法有效求解, 获得更高探测精度.与此同时, 反问题的病态特性、大数据量、大尺度多尺度的探测区域, 都给逆问题算法带来挑战.最近, 以深度学习为代表的机器学习技术给电磁逆问题的研究带来了新的方法和机会.随着计算机和传感器技术的进步, 电磁探测方法的应用将更加广泛.
4 总结与展望
电磁计算经过近六十年的发展, 已发展出一批强有力的技术和软件, 成为研发各种电子信息系统不可缺少的工具.虽然, 电磁计算已较为成熟, 但是推动电磁计算发展的内、外驱动力依然存在.当然, 今天电磁计算的发展形势与六十年前是有根本不同的.这种不同主要体现在以下两点:1)外部应用需求的驱动力比追求算法精度和效率的内在驱动力更为强劲, 尤其是国内, 随着自主研发电子产品的增多, 性能要求更可靠、更稳定, 这种需求越来越变为刚性需求; 2)开展电磁计算研究所需储备更多, 门槛更高.这种形势给电磁计算方面的人才培养和科研带来了新的挑战, 同时也带来了新的机遇.因此, 面对新形势, 我们需要重新思考和调整对未来电磁计算的追求目标、科研组织方式, 以及科研环境的构建, 从而更好地推动电磁计算的发展.
附录A “电磁计算”专刊编委名单艾俊强,航空工业 603 所 陆卫兵,东南大学 陈如山,南京理工大学 沙 威,浙江大学 陈晓盼,军事科学院系统工程研究院 盛新庆,北京理工大学 郭琨毅,北京理工大学 宋朝晖,国家自然科学基金委 郭立新,西安电子科技大学 王晓冰,中国航天科技集团八院 802 所 胡 俊,电子科技大学 魏 兵,西安电子科技大学 黄志祥,安徽大学 吴语茂,复旦大学 金谋平,中国电子科技集团公司第三十八研究所 杨明林,北京理工大学 李懋坤,清华大学 殷红成,电磁散射国家级重点实验室 刘其凤,重庆大学 朱国强,武汉大学 -
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