过孔转换信号完整性分析的区域分解有限元法

胡玉生; 熊祥

doi:10.13443/j.cjors.2018111904

过孔转换信号完整性分析的区域分解有限元法

胡玉生^,,
熊祥

集美大学机械与能源工程学院, 厦门 361021

基金项目:

国家自然科学基金 61871200

福建省对外合作项目 2017I0011

详细信息

作者简介:
胡玉生 (1970-), 男, 山西人, 集美大学副教授, 硕士研究生导师.2003年毕业于东南大学获博士学位, 分别于2010年、2014年在美国密苏里科技大学和意大利都灵理工大学做访问学者.主要研究方向为电磁兼容和信号完整性

熊祥 (1992-), 男, 江西人.集美大学在读硕士研究生, 研究方向为电磁兼容与信号完整性

通信作者:
胡玉生 E-mail:hysmk@sina.com

中图分类号: TN41
计量
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出版历程
- 收稿日期: 2018-11-18
- 网络出版日期: 2020-12-30
- 发布日期: 2019-08-29
- 刊出日期: 2019-08-29

A domain decomposition finite-element method for signal integrity analysis of via transition

HU Yusheng^,,
XIONG Xiang

College of Mechanical and Energy Engineering, Jimei University, Xiamen 361021, China

摘要

摘要: 提出了一种基于区域分解的二维有限元法分析多层印制电路板电源/地平面中过孔转换结构的信号完整性.过孔电流产生的电磁场呈三维结构，其中，一部分电磁波沿过孔轴向传输，另一部分电磁波在电源/地平面间沿径向传播.采用一虚拟柱面将求解区域分割为过孔区和电源/地平面区.将过孔区建模为以周向磁场为主分量的二维轴对称问题，而将电源/地平面区建为以垂直电场为主分量的二维模型.首先求解电源/地平面区的二维边值问题获得分割边界上节点的波阻抗，然后将该波阻抗代入过孔区模型中分割边界节点的边界条件，从而计算出过孔信号传输的S参数.所提方法通过模型缩减可实现对微细过孔结构信号完整性的精确快速计算，且采用全波电磁场分析软件对算法的有效性和准确性进行了验证.
- 过孔 /
- 电源/地平面 /
- 信号完整性 /
- 区域分解 /
- 有限元法
Abstract: A two-dimensional finite-element method (FEM) based on domain decomposition was provided to analyze the signal integrity of via transition in power/ground planes pair of multilayer printed circuit board (PCB). The electromagnetic wave produced by the signal current on via barrel distributes in three-dimensional form, part of which propagates along axial direction of via barrel, while other part of which propagates along radial direction in power/ground planes. The region to be solved is partitioned into via domain and power/ground domain using a virtual cylindrical surface. The via domain is modeled as two-dimensional axial symmetrical problem whose dominant component is circumferential magnetic field, while the power/ground planes domain is modeled as another two-dimensional problem whose dominant component is vertical electric field. The wave impedance of the nodes at partition boundary is obtained through solving the two-dimensional power/ground planes boundary value problem, and then the wave impedances of nodes are substituted into the boundary condition at partition boundary of via domain, thereupon the S parameters of via signal can be calculated. Higher accuracy and rapid calculation for signal integrity of tiny via structure are realized by model reduction. The effectiveness and accuracy are validated through full wave electromagnetic simulation software.
- via /
- power/ground planes /
- signal integrity /
- domain decomposition /
- finite-element method

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引言

在多层印制电路板(printed circuit board, PCB)设计中由于布线的需要通常采用穿过一个或多个邻近层的过孔实现导体之间的电气连接.在高速PCB中, 过孔等互连结构的阻抗不连续性将会引起较大的反射, 导致信号性能降级.过孔信号电流返回路径的不连续结构使得电磁波在电源/地平面间传播, 也会产生谐振、串扰、辐射发射等问题^[1-4].此外, 长过孔的残端也会产生额外的反射和时序抖动等问题^[5].过孔转换的信号完整性问题, 因过孔结构精细, 涉及变量较多, 机理比较复杂, 进行精确建模并实现快速分析是一个挑战性的问题.

对过孔转换结构的信号完整性分析可采用等效电路的方法、电磁场方法和场路结合的方法等.当频率较低时, 可忽略分布参数效应, 过孔即为一段连接导线.随着频率的进一步增加, 分布参数的影响可等效为寄生电容和寄生电感, 过孔转换结构的等效电路模型可等效为一个π型电路, 即过孔本身的寄生电感、过孔与电源平面/地平面的寄生电容^[6].当频率较高时, 考虑到电流的返回路径, 可将过孔转结构等效为基于物理的π型电路模型^[7-8], 该模型包括过孔与电源/地平面的分布电容及电源/地平面的返回路径阻抗.过孔与电源/地平面的电容可采用准静态场方法计算^[9].返回路径阻抗呈容性或感性, 可采用解析法、腔模理论法、有限元法、边界积分方程法等计算^[10-12].基于物理的等效电路模型的适用性和准确性仍有待深入验证^[13].显然, 全波电磁场分析的方法计算精度和可信度最高.文献[14]提出了一种混合有限元法, 该方法对过孔区采用四面体单元的三维有限元法离散, 对电源/地平面区采用三角形单元的二维有限元法离散.

本文提出了一种区域分解的二维有限元法.该方法将求解区域分为过孔区和电源/地平面区.对过孔区采用以过孔周向磁场分量为主分量的轴对称二维有限元法, 对电源/地平面区采用以垂直于电源/平面的电场分量为主分量的二维有限元法, 将求得的电源/地平面区分割边界节点上的波阻抗代入过孔区分割边界节点的边界条件中, 进而求得过孔转换的S参数.该方法由于模型缩减大大减小了单元离散的数量, 计算精度高、计算速度快.

1 模型与算法

过孔通过一对电源/地平面的模型如图 1所示, 电源平面和地平面为整体敷铜的导体, 电源平面和地平面之间为绝缘介质, 如FR4、特氟龙等.过孔信号电流产生的电磁波的传输可认为是一个三端口网络.过孔进出电源/地平面处与反焊盘、电源/地平面围成的区域类似于两个同轴线结构, 将这两个同轴结构分别称为端口1和端口2.电源/地平面方向称为端口3.电磁波信号从端口1进入, 然后一部分从端口2流出, 一部分沿端口3传播.

图 1 过孔转换结构及区域划分

Fig. 1 Structure of via transition as well as region segmentation

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过孔转换结构电磁场的传播机理与场分布状况比较复杂.根据几何结构及场分布的特点, 可以将该问题分割为两个区域, 即过孔附近的过孔区和远离过孔的电源/地平面区.过孔区的磁场可认为仅有沿周向的磁场分量, 从而可将过孔区中的场简化为以周向磁场为主分量的轴对称两维问题.而电源/地平面区中的场是类似于波导中场的传输, 由于电源/地平面的厚度很小, 电场分量可认为只有垂直于电源/地平面的垂直分量^[15], 电源/地平面区可简化为以垂直电场分量为主分量的两维问题.

采用一个虚拟柱形剖切面将求解区域分割为两个区域, 对这两个区域可分别建模, 然后利用一定的边界条件耦合起来进行求解.分割柱面的半径可取为反焊盘半径的2~3倍.

1.1 电源/地平面区的2D有限元法

由于电源/地平面的厚度与波长相比非常小, 电源/地平面区在垂直于电源/地平面的z向只有E_z分量, 磁场只有沿xy平面的水平场分量H_x和H_y, 以E_z为主分量的二维数值模型的控制微分方程为

$\frac{{{\partial ^2}{E_z}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{E_z}}}{{\partial {y^2}}} + k_0^2{\varepsilon _{\rm{r}}}{\mu _{\rm{r}}}{E_z} = 0.$

(1)

式中:k₀为自由空间的波数; ε_r、μ_r分别为电源/地平面之间介质的相对介电常数和相对磁导率.计算模型如图 2所示.

图 2 电源/地平面区的2D计算模型

Fig. 2 2D calculation model for power/ground domain

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由于PCB四周表面为开路边界, 表面电流密度等于零, 因此, 其边界条件为

$\frac{{\partial {E_z}}}{{\partial n}} = 0.$

(2)

即在PCB四周为理想磁导体(perfect magnetic conductor, PMC)边界条件.

可推导出图 2中分界面圆孔上的边界条件为

$\frac{{\partial {E_z}}}{{\partial n}} = - {\rm{j}}\omega \mu {H_{\rm{t}}}.$

(3)

式中, H_t表示切向磁场, 逆时针方向为正.

1.2 过孔区的2D有限元法

过孔区的磁场只有沿周向θ的H_θ分量, 且场分布与θ无关, 可采用二维轴对称分析, 在坐标为(r, θ, z)的柱坐标系中, H_θ满足微分方程^[16]

$\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {r{H_\theta }} \right)}}{{\partial r}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\frac{{\partial {H_\theta }}}{{\partial z}} + k_0^2{\varepsilon _{\rm{r}}}{\mu _{\rm{r}}}{H_\theta } = 0.$

(4)

式(4)可改写为

$\begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {r{H_\theta }} \right)}}{{\partial r}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {r{H_\theta }} \right)}}{{\partial z}}} \right) + \\ \frac{{k_0^2{\varepsilon _{\rm{r}}}{\mu _{\rm{r}}}}}{r}\left( {r{H_\theta }} \right) = 0. \end{array}$

令1/r和ε_rμ_r/r是与媒质有关的系数, 作x=r, y=z, Φ=rH_θ, $\alpha = \begin{array}{*{20}{l}} 1\\ r \end{array},\beta = k_0^2\frac{{{\varepsilon _{\rm{r}}}{\mu _{\rm{r}}}}}{r}$ 变换，则关于H_θ的柱坐标微分方程可变换成下列直角坐标系中的标准形式:

$\alpha \frac{{{\partial ^2}\mathit{\Phi }}}{{\partial {x^2}}} + \alpha \frac{{{\partial ^2}\mathit{\Phi }}}{{\partial {y^2}}} + \beta \mathit{\Phi } = 0.$

(5)

过孔区的2D轴对称数值模型如图 3所示, 图中r_v为过孔半径, r_a为反焊盘半径.金属化过孔表面、电源平面和地平面为良导体, 边界条件为电壁, 可写为

图 3 过孔区的2D轴对称计算模型

Fig. 3 2D axial symmetric calculation model for via domain

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$\frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial n}} = 0.$

(6)

令端口1为入射波输入端口, 端口1处的总场可表示为入射波Φ^inc与反射波Φ^ref的总和, 即

$\mathit{\Phi } = {\mathit{\Phi }^{{\rm{inc}}}} + {\mathit{\Phi }^{{\rm{ref}}}}.$

(7)

令

${\mathit{\Phi }^{{\rm{inc}}}} = {\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}ky}},{\mathit{\Phi }^{{\rm{ref}}}} = R{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}ky}}.$

式中:k表示波数; R表示反射系数; Φ₀是给定幅值.设端口1和端口2处y坐标分别为y₁和y₂, 可推得在端口1处

$\begin{array}{l} \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial y}} = - {\rm{j}}k{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}ky}} + {\rm{j}}kR{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}ky}}\left| {_{y = {y_1}}} \right.\\ \;\;\;\;\;\; = {\rm{j}}k\mathit{\Phi } - 2{\rm{j}}k{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}ky}}\left| {_{y = {y_1}}} \right.. \end{array}$

(8)

因为端口1的外法线方向n与y坐标的正向相同, 所以端口1的边界条件为

$\frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial n}} = \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial y}} = {\rm{j}}k\mathit{\Phi } - 2{\rm{j}}k{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}{k_0}y}}\left| {_{y = {y_1}}} \right..$

(9)

设端口2为匹配边界, 无反射波, 仅有透射波, 透射波表示为

$\mathit{\Phi } = {\left. {{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}ky}}} \right|_{y = {y_2}}}.$

(10)

因端口2的外法线方向n与+y相反, 故端口2的边界条件为

$\frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial n}} = - \frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial y}} = {\rm{j}}k{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}ky}} = {\rm{j}}k\mathit{\Phi }\left| {_{y = {y_2}}} \right..$

(11)

求得数值模型的场分布后, 便可计算出输入、输出端口的S参数, 公式给定如下^[16]:

${S_{11}} = 20\lg \left| {\frac{{\mathit{\Phi }\left( {{y_1}} \right) - {\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}k{y_1}}}}}{{{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}k{y_1}}}}}} \right|;$

(12)

${S_{21}} = 20\lg \left| {\frac{{\mathit{\Phi }\left( {{y_2}} \right)}}{{{\mathit{\Phi }_0}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}{k_{{y_2}}}}}}}} \right|.$

(13)

1.3 区域分割处的耦合边界条件

图 2电源/地平面模型中的分割分界面圆孔处的E_z是待求变量, 采用有限元法求解后可获得圆孔处各节点的E_z值, 并用各节点E_z的平均值表示.分割分界面圆孔处的切向磁场H_t可为给定激励边界, 对多过孔问题的非激励源过孔可由求得的E_z解出.

电源/地平面区各点的阻抗是其固有特性, 与电场或磁场的绝对大小没有关系, 只与其比值有关.用Z_w表示虚拟分割边界上节点的E_z与切向磁场H_t的比值, 即

${Z_{\rm{w}}} = \frac{{{E_z}}}{{{H_{\rm{t}}}}}.$

(14)

Z_w具有波阻抗的含义, 其是分割分界上电磁场应满足的边界条件, 此处称为阻抗边界条件, 利用该阻抗边界条件可将电源/地平面区模型和过孔区模型耦合起来.

在图 3的过孔区模型分割边界上，沿z方向的磁场H_z是节点未知变量.由麦克斯韦第一方程

$\nabla \times \mathit{\boldsymbol{H}} = {\rm{j}}\omega \varepsilon \mathit{\boldsymbol{E}}.$

(15)

得

$\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial y}}\mathit{\boldsymbol{\hat x}} - \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial x}}\mathit{\boldsymbol{\hat y}} = {\rm{j}}\omega \varepsilon \left( {\mathit{\boldsymbol{\hat x}}{E_x} + \mathit{\boldsymbol{\hat y}}{E_y}} \right).$

(16)

对图 3模型右侧分割边界, 可得

$\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial n}} = \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial x}} = - {\rm{j}}\omega \varepsilon {E_y}.$

(17)

电源/地平面模型中分割边界的E_z、H_t分别与过孔区模型的E_y、H_θ相对应, 且直角坐标系中的H_z与柱坐标系中的H_θ是同一变量.令过孔区模型分割边界处各节点的E_y值皆相等，由Φ=rH_θ=rH_z，利用式(14)和式(17)的边界条件，可得过孔区模型右侧边界的边界条件为

$\frac{{\partial \mathit{\Phi }}}{{\partial n}} = - {\rm{j}}\omega \varepsilon \mathit{\Phi }{Z_w}.$

(18)

式(18)即为过孔区模型右侧边界的边界条件.

2 模型验证及数值分析结果

设多层PCB模型中的一对电源层和地层的长、宽均为100 mm, PCB板中心有一个信号过孔, 过孔半径r_v=0.25 mm, 反焊盘半径r_a=1.0 mm, 电源层和电层之间为FR4介质, 其相对介电常数和相对磁导率分别为ε_r=4.5、μ_r=1, 介质层厚度为1.5 mm.为保证端口处信号为TEM模单模激励, 仿真时将端口1和端口2的同轴部分在模型中分别向外延伸一定距离, 本实例中将端1、端口2各延伸了0.35 mm.分割柱面的半径取为2r_a, 即2 mm.电源/地平面区和过孔区的有限元离散模型分别如图 4和图 5所示.

图 4 电源/地平面区的2D有限元离散模型

Fig. 4 Discrete elements of 2D FEM model for power/ground planes domain

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图 5 过孔区的2D有限元离散模型

Fig. 5 Discrete elements of 2D FEM model for via domain

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计算频率范围取为0.1~2.5 GHz.首先, 计算电源/地平面分割柱面边界上的波阻抗, 计算结果见图 6.由图 6可知, 波阻抗随频率变化呈容性、感性交替变化, 其中在1.45 GHz和2.05 GHz时出现高阻抗的谐振.采用电磁仿真软件ANSYS进行了验证, 数值计算结果与仿真结果基本一致.

图 6 电源/地平面区分割边界的波阻抗

Fig. 6 The wave impedance at the segmentation boundary of power/ground planes

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将电源/地平面区所得分割边界处的阻抗代入过孔区分割边界的边界条件进行求解可得出过孔信号传输的S参数. S₁₁和S₂₁的计算结果分别如图 7和图 8所示.数值计算结果表明:在谐振点1.45 GHz和2.05 GHz附近S₁₁约大于-10 dB, 信号反射较大; S₂₁的性能也有所下降, 但S₂₁大于-0.5 dB, 传输性能总体良好.采用全波电磁仿真软件HFSS进行了验证, 仿真曲线与本文数值方法的计算曲线总体趋势基本吻合, 所获谐振点基本一致, 表明本文数值方法总体上正确可行.仿真结果与本文结果在谐振点处的数值差异略大, 误差原因可来源于以下几个方面:1)网格单元离散引起的误差.本文数值算法中单元的离散精度不够精细.2)分割边界的位置选取引起的误差.分割边界越靠近过孔场均匀性越差, 产生的误差越大.3)模型近似引起的误差.过孔区的轴对称模型近似认为场沿周向不变, 电源/地平面区模型近似认为场沿垂直方向不变, 而实际的场分布可能存在不均匀性.可通过自适应算法提高计算精度.

图 7 过孔信号传输的S₁₁计算结果

Fig. 7 The computed S₁₁ for propagated via signal

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图 8 过孔信号传输的S₂₁计算结果

Fig. 8 The computed S₂₁ for propagated via signal

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3 结论

多层PCB电源/地平面产生的谐振会影响过孔信号的传输性能, 产生信号完整性问题.过孔转换结构微小且不规则, 要求单元离散得非常精细, 采用三维限元分析需要耗费大量的计算时间和计算机存储单元.本文提出的区域分解有限元法将求解区域从三维模型简化为两个二维模型来独立求解, 计算效率高, 可实现对过孔转换信号完整性的快速求解, 并通过全波电磁场软件验证了所提算法的正确性.

此外, 本文中电源/地平面区的计算方法也可由现有的各种电源/地平面输入阻抗计算的解析法或数值方法代替.与基于物理的过孔等效电路模型相比, 本文的方法计算精度较高, 且计算量不会有较大增加.

本文的计算方法可进一步推广到多过孔的信号完整性及串扰等问题的分析.此外, 本文的研究工作有助于过孔等效电路模型的机理研究及改进完善.

图 1 过孔转换结构及区域划分

Fig. 1 Structure of via transition as well as region segmentation

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图 2 电源/地平面区的2D计算模型

Fig. 2 2D calculation model for power/ground domain

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图 3 过孔区的2D轴对称计算模型

Fig. 3 2D axial symmetric calculation model for via domain

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图 4 电源/地平面区的2D有限元离散模型

Fig. 4 Discrete elements of 2D FEM model for power/ground planes domain

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图 5 过孔区的2D有限元离散模型

Fig. 5 Discrete elements of 2D FEM model for via domain

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图 6 电源/地平面区分割边界的波阻抗

Fig. 6 The wave impedance at the segmentation boundary of power/ground planes

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图 7 过孔信号传输的S₁₁计算结果

Fig. 7 The computed S₁₁ for propagated via signal

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图 8 过孔信号传输的S₂₁计算结果

Fig. 8 The computed S₂₁ for propagated via signal

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参考文献(16)

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施引文献(7)

期刊类型引用(4)

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引言
1 模型与算法
1.1 电源/地平面区的2D有限元法
1.2 过孔区的2D有限元法
1.3 区域分割处的耦合边界条件
2 模型验证及数值分析结果
3 结论

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过孔转换信号完整性分析的区域分解有限元法

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胡玉生 E-mail:hysmk@sina.com

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