Error analysis of single station passive location in high-frequency based on the circular error probable
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摘要: 针对短波单站无源定位误差分析问题, 提出一种基于圆概率误差的分析方法, 建立短波单站无源定位模型, 推导了关于方位角、仰角和电离层虚高误差的圆概率误差公式考虑到传统圆概率误差只给出了概率50%的近似结果, 重点计算了其他概率的表达式, 该方法可以推广求出任意概率条件下的圆概率误差仿真表明, 提出的圆概率误差方法理论结果和仿真结果相对误差小于1%, 验证了方法的正确性.Abstract: The circular error probable is extensively used to evaluate the performance of passive location system.With the aid of the single station passive location model in high-frequency, the circular error probable is obtained, which concerning the errors of azimuth, elevation and ionosphere virtual height.Since traditional circular error probable just provides the approximate formula with probability near 50%, the new error formulae is calculates by arbitrariness probability.The simulation shows that the relative error of the theoretical result is less than 1% compared with the experiment result which validates the correctness of theoretical method.
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引言
单站无源定位通过单一观测平台被动接收辐射源信号完成目标定位, 是获取目标位置信息的重要手段, 已经应用到重要目标位置监视、紧急营救、智能交通以及反恐维稳等领域[1].作为另一类无源定位的代表, 多站无源定位也在目标精确定位方面发挥了重要作用, 但是多站无源定位系统需要高精度的站间同步、数据传输以及目标共视的严格要求, 所以在快速定位、搭载式定位等方面的应用受到一定限制.单站定位与其相比最大特点是只有一个观测平台, 设备简单, 部署灵活, 机动性能强, 因此在星载、机载、舰载[2-4]等多种运动平台目标定位方面发挥了重要作用.目前单站定位技术的研究主要包括以下四个方面:1)定位体制的研究, 包括测向定位、到达时间定位、多普勒频率及其变化率定位、相位差及其变化率定位以及上述的组合定位法等; 2)参数估计的研究, 包括波达方向测量、频率及变化率测量和相位差及变化率测量等; 3)定位跟踪方法的研究, 包括牛顿迭代方法、卡尔曼滤波及其扩展方法、贝叶斯估计理论的粒子滤波方法等; 4)定位误差分析与效能评估, 包括可观测性分析、定位误差分析、定位误差校正[5-6]等.此外, 以闪电声源定位[7]和外辐射源单站定位[8]为代表的单站无源定位新应用也是研究热点.
短波单站无源定位是单站无源定位的一个重要分支, 由于其工作在高频频段可以利用电离层反射实现对远距离目标的定位, 在远程目标预警、监视方面得到了良好的应用[9].为了实现远距离目标定位一般短波接收阵尺寸较大, 多站定位时站间距将会达到百千米甚至千千米级, 此时电离层由于其地域和时变性导致信道影响不同, 信号相关性急剧恶化, 加之短波信号带宽很窄, 基于时频差多站的高精度目标定位方法由于参数测量误差过大将会失效; 如果采用多站测向交汇定位, 目标必须位于站间夹角60°到120°的范围内才能获得较好的定位效果, 考虑到布站间距加大，目标共视、站间同步难度都会增加, 使得多站测向交汇定位十分困难, 所以在远程目标预警、监视方面都无法广泛的应用.在单站无源定位研究基础上, 短波单站无源定位的研究主要还包括以下特色研究:短波单站定位建模方法、电离层参数测量与反演、射线追踪、定位误差分析[10-12]等.在定位理论中, 定位误差分析是重要的分支, 定位效果的好坏是评判一个定位系统的重要标准, 是系统建设的重要参考.短波单站无源定位误差分析与其他频段的定位误差分析有较大区别, 由于电波通过电离层进行传播, 电波路径不再是直达路径, 而且电离层测量误差将会直接影响定位结果.
在短波单站无源定位中影响定位误差的参数包括仰角、方位角、电离层高度等测量参数的误差、目标和接收站的相对位置等.近年来, 对短波单站定位误差分析的研究主要集中在定位精度的几何稀释分析和基于大圆距离误差分析两个方面.其中文献[13]推导了Es层散射条件下单站定位的精度公式并讨论了测站位置、阵列孔径和信噪比对定位精度的影响.文献[14]从电离层虚高误差、测量仰角和方位角误差出发, 讨论了大圆距离误差与上述参数误差的关系并重点就优化定位精度提出了建议.文献[15]分别从方位角误差对定位结果的影响和仰角与反射高度误差对定位结果影响出发, 建立了误差模型, 并最终通过误差圆半径的均方误差来衡量定位效果.上述研究仅给出了部分测量参数与定位误差的关系并没有从全部测量参数角度出发给出完整的误差分析结果.圆概率误差是一种典型的定位误差分析方法, 已经在很多领域得到使用[16-19], 但是在短波单站定位中的应用较少, 仅有文献[15]从参数测量误差角度出发给出了圆概率误差为50%时的推导分析结果, 对于其他概率条件下的误差没有研究, 误差结果不具有普适性.
从短波单站定位模型出发, 建立了短波单站无源定位的椭圆、圆概率误差数学模型, 重点采用曲线拟合加数值积分的方式对不同概率条件下来波方位角、仰角和电离层虚高测量参数与定位误差的确定表达式进行推导, 并就各参数对定位误差的影响进行分析, 通过蒙特卡罗仿真进一步验证了所提方法的正确性.本文提出的短波单站无源定位圆概率误差的方法进一步丰富了短波单站无源定位误差分析的理论体系, 误差计算方法简单, 可以根据需要任意选择概率进行计算，普适性好, 对研究和工程工作具有较强的指导意义.
1 短波单站定位的几何模型
短波单站无源定位原理为接收站的测向设备对来波方位角和仰角进行测量, 同时利用电离层探测技术测量其反射高度, 结合方位角、仰角和电离层高度可以反演求出地面大圆距离, 实现目标位置的估算.根据Martyn等效理论:高频斜入射传播的反射虚高与等效垂直入射的反射虚高相当[20].同时假设目标辐射源来波只经过一跳天波反射到达接收站, 这样根据电波传播的平面模型建立来波仰角β、球面距离d、电离层反射虚高h之间的几何关系, 如图 1所示.
假设地球是一个球体, 且电离层反射为镜面反射, 则辐射源A与测向站B间的大圆距离d有如下关系
d=2Rα. (1) 式中: R是地球半径; α是AB大圆距离d对应的圆心角的一半.
根据平面几何关系和三角定理, 大圆距离d与来波仰角β和电离层虚高h的关系为
d = 2R\left\{ {\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2} - \beta - \arcsin \left[ {\frac{R}{{R + h}}\cos \beta } \right]} \right\}. (2) 根据图 2中的单站定位球面模型, 建立单站定位模型.
假设辐射源与接收站同在北半球、东半球.辐射源位置A经纬度坐标(纬度坐标在前)为A(La, Lo), 测向站位置B经纬度坐标为B(La0, Lo0).根据球面正弦和余弦定理, 在球面三角形ABP中有
\left\{ \begin{array}{l} \cos {\varphi _1} = \cos {\varphi _2}\cos {\varphi _3} - \sin {\varphi _2}\sin {\varphi _3}\cos \theta \\ \frac{{\sin {\varphi _1}}}{{\sin \theta }} = \frac{{\sin {\varphi _3}}}{{\sin {\gamma _3}}}. \end{array} \right. (3) 式中: φ1=π/2-La; φ2=π/2-La0; φ3=d/R; γ3=Lo-Lo0; θ(相对正北方向)为信号到达角; d为大圆距离.带入经纬度坐标并解方程组得辐射源位置A(La, Lo)坐标表达式为
\left\{ \begin{array}{l} {L_{\rm{a}}} = \arcsin \left( {\sin {L_{{\rm{a0}}}}\cos {\varphi _3} + \cos {L_{{\rm{a0}}}}\sin {\varphi _3}\cos \theta } \right)\\ {L_{\rm{o}}} = {L_{{\rm{o0}}}} + \arcsin \left[ {\frac{{\sin {\varphi _3}\sin \theta }}{{\cos {L_{\rm{a}}}}}} \right]. \end{array} \right. (4) 化简式(4)并结合式(2)最终得到短波单站定位的模型如下:
\left\{ \begin{array}{l} {L_{\rm{a}}} = \arcsin \left[ {\sin {L_{{\rm{a0}}}}\cos \left( {\frac{d}{R}} \right) + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\cos {L_{{\rm{a0}}}}\sin \left( {\frac{d}{R}} \right)\cos \theta } \right]\\ {L_{\rm{o}}} = {L_{{\rm{o0}}}} + \arcsin \left[ {\frac{{\sin \frac{d}{R}\sin \theta }}{{\cos {L_{\rm{a}}}}}} \right]\\ d = 2R\left\{ {\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2} - \beta - \arcsin \left[ {\frac{R}{{R + h}}\cos \beta } \right]} \right\} \end{array} \right.. (5) 需要说明的是, 方位角、仰角和电离层反射高度的测量值均是在电离层为球面分布、均匀对称的假设情况下测得的.
2 短波单站定位圆概率误差模型
根据圆概率误差定义[21], 短波单站无源定位圆概率误差可以表示为:在半径为r的圆内, 误差出现的概率为pe, 半径r即代表圆概率误差的值.圆概率误差衡量了定位估计样点与其均值之间的不确定度, 对于概率为pe的圆概率误差表示了定位样点以概率pe落入误差半径为r的圆中.
根据定位误差的度量[22], 目标位置误差的空间分布服从正态分布, 由误差椭圆的定义[23], 密度函数为常数时的轨迹可以描述为
f\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = {\rm{const}}. (6) 式中: X为位置矢量; f(X)为误差空间的概率密度函数; const为常数, 它决定了式(6)对应的曲面或者立体空间的覆盖范围.
根据上面分析, 下面推导短波单站定位的圆概率误差表达, 首先将式(5)写成关于估计参数θ、β和h的函数形式为
\left\{ \begin{array}{l} {L_{\rm{a}}} = {f_{{L_{\rm{a}}}}}\left( {\theta , \beta , h} \right)\\ {L_{\rm{o}}} = {f_{{L_{\rm{o}}}}}\left( {\theta , \beta , H} \right) \end{array} \right.. (7) 假设δθ为来波方位角误差, δβ为来波俯仰角测量误差, δh为电离层虚高测量误差, δLa为纬度误差, δLo为经度误差.在一阶近似条件下, 可得
\left\{ \begin{array}{l} {\delta _{{L_{\rm{a}}}}} = \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \theta }}{\delta _\theta } + \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \beta }}{\delta _\beta } + \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial h}}{\delta _h}\\ {\delta _{{L_{\rm{o}}}}} = \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \theta }}{\delta _\theta } + \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \beta }}{\delta _\beta } + \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial h}}{\delta _h} \end{array} \right.. (8) 定义δre=[δLa, δLo]T为目标位置的误差矩阵, δme=[δθ, δβ, δh]T为参数测量的误差矩阵, 可得
{\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{{\rm{re}}}} = \mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{{\rm{me}}}}. (9) 式中, T为系数矩阵,
\mathit{\boldsymbol{T}} = \left( \begin{array}{l} \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \theta }}\;\;\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \beta }}\;\;\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial h}}\\ \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \theta }}\;\;\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \beta }}\;\;\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial h}} \end{array} \right). (10) 假设测量参数θ, β和h是相互独立的, 则测量参数的协方差矩阵为
{\mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm{me}}}} = E\left( {{\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{{\rm{me}}}}\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{{\rm{me}}}^{\rm{T}}} \right) = \left( \begin{array}{l} \sigma _\theta ^2\;\;0\;\;0\\ 0\;\;\sigma _\beta ^2\;\;0\\ 0\;\;\;0\;\;\sigma _h^2 \end{array} \right). (11) 式中, σθ2、σβ2和σh2分别为参数方位角θ、仰角β和电离层虚高h估计的均方误差.定义经纬度坐标估计误差的协方差矩阵为
{\mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm{re}}}} = E\left( {{\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{{\rm{re}}}}\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{{\rm{re}}}^{\rm{T}}} \right) = \left( \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2\;\;\;\;{\rho _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}}{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}}{\sigma _{{L_{\rm{o}}}}}\\ {\rho _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}}\;\;{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}}{\sigma _{{L_{\rm{o}}}}}\;\;\;\;\;\;\sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2 \end{array} \right). (12) 式中, σ2La、σ2Lo分别为纬度和经度估计的均方误差; ρLaLo为纬度和经度的误差相关系数.将式(9)带入式(12)得到
{\mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm{re}}}} = \mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm{me}}}}{\mathit{\boldsymbol{T}}^{\rm{T}}}. (13) 化简式(13)得到
\left\{ \begin{array}{l} \sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 = {\left( {\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \theta }}} \right)^2}\sigma _\theta ^2 + {\left( {\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \beta }}} \right)^2}\sigma _\beta ^2 + {\left( {\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial h}}} \right)^2}\sigma _h^2\\ \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2 = {\left( {\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \theta }}} \right)^2}\sigma _\theta ^2 + {\left( {\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \beta }}} \right)^2}\sigma _\beta ^2 + {\left( {\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial h}}} \right)^2}\sigma _h^2\\ {\rho _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}}{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}}{\sigma _{{L_{\rm{o}}}}} = \frac{{\partial f{L_{\rm{a}}}}}{{\partial \theta }}\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \theta }}\sigma _\theta ^2 + \frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial \beta }}\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial \beta }}\sigma _\beta ^2 + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{a}}}}}}}{{\partial h}}\frac{{\partial {f_{{L_{\rm{o}}}}}}}{{\partial h}}\sigma _h^2. \end{array} \right. (14) 对定位误差协方差进行对角化, 得到
\mathit{\boldsymbol{P = }}{\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}}\left[ \begin{array}{l} {\lambda _1}\;\;\;0\\ 0\;\;\;{\lambda _2} \end{array} \right]\mathit{\boldsymbol{C}}{\rm{.}} (15) 式中:
\left\{ \begin{array}{l} {\lambda _1} = \frac{{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 + \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2}}{2} + \frac{{\sqrt {{{\left( {\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 - \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2} \right)}^2} + 4\sigma _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}^2} }}{2}\\ {\lambda _2} = \frac{{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 + \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2}}{2} - \frac{{\sqrt {\left( {\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 - \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2} \right) + 4\sigma _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}^2} }}{2} \end{array} \right.; (16) C为坐标旋转矩阵.通过坐标旋转以后, 可以得到误差椭圆的表达式为
\frac{{\mathit{\zeta }_1^2}}{{{\lambda _1}}} + \frac{{\zeta _2^2}}{{{\lambda _2}}} = k. (17) 式(17)表达的椭圆长短半轴的表达式为
\left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt {k{\lambda _1}} = \sqrt {k\left[ {\frac{{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 + \sigma _{L{\rm{o}}}^2}}{2} + \frac{{\sqrt {{{\left( {\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 - \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2} \right)}^2} + 4\sigma _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}^2} }}{2}} \right]} \\ b = \sqrt {k{\lambda _2}} = \sqrt {k\left[ {\frac{{\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 + \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2}}{2} - \frac{{\sqrt {{{\left( {\sigma _{{L_{\rm{a}}}}^2 - \sigma _{{L_{\rm{o}}}}^2} \right)}^2} + 4\sigma _{{L_{\rm{a}}}{L_{\rm{o}}}}^2} }}{2}} \right]} \end{array} \right.. (18) 根据对服从高斯分布矢量的概率分布情况的分析, 在二维情况下决定误差椭圆大小的k值与落入误差椭圆的概率pe之间满足如下关系
k = - 21{\rm{n}}\left( {1 - {p_{\rm{e}}}} \right). (19) 上面分析了纬度和经度的椭圆概率误差表示, 为了更加直观地表示纬度和经度误差与地面大圆距离的关系, 可以采用误差圆近似误差椭圆, 用圆半径来统一表达两维的误差, 其计算方法为[23]:
\smallint _{\xi = 0}^{\frac{{{S_{EP}}}}{{{\sigma _x}}}}\smallint _0^{\rm{ \mathit{ π} }}f\left( {\xi , \vartheta } \right){\rm{d}}\vartheta {\rm{d}}\xi {\rm{ = 0}}{\rm{.5}}{\rm{.}} (20) 式中:SEP为椭圆概率误差;
\begin{array}{l} f\left( {\xi , \vartheta } \right) = \left( {\frac{{{\sigma _x}}}{{{\sigma _y}}}} \right)\left( {\frac{{{\sigma _x}}}{{{\sigma _z}}}} \right)\frac{{{\xi ^2}}}{{\sqrt {2{\rm{ \mathit{ π} }}} }}\sin \vartheta \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{I_0}\left\{ {\frac{{{\xi ^2}{{\sin }^2}\vartheta }}{4}\left[ {1 - {{\left( {\frac{{{\sigma _x}}}{{{\sigma _y}}}} \right)}^2}} \right]} \right\} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\exp \left\{ { - \frac{{{\xi ^2}}}{4}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{{\sigma _x}}}{{{\sigma _y}}}} \right)}^2}} \right] + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\frac{{{\xi ^2}}}{4}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{{\sigma _x}}}{{{\sigma _y}}}} \right)}^2} - 2{{\left( {\frac{{{\sigma _x}}}{{{\sigma _z}}}} \right)}^2}} \right]{{\cos }^2}\vartheta } \right\}, \end{array} (21) σx、σy和σz分别表示在x、y和z方向的均方根误差, ξ=r/σx, \vartheta 为球坐标系的仰角.式(20)的积分很难求出解析表达式, Cline在文献[21]中给出了概率为50%的经验表达式:
\frac{{{S_{EP}}}}{{{\sigma _x}}} = c + 0.503{\left( {{a^j} + {b^k}} \right)^{0.78}}. (22) 式中: a = \frac{{{\sigma _y}}}{{{\sigma _x}}};b = \frac{{{\sigma _z}}}{{{\sigma _x}}};c = 0.675;j = m + n{a^{{P_{\rm{e}}}}}, k = m + n{b^{{P_{\rm{e}}}}}, m = 2.64, n = 1.28 .本文在此基础上利用数值积分计算了概率不同时的曲线近似表达式, 其中具体参数如表 1所示.
表 1 不同概率条件下圆概率误差曲线参数值Pe/% m n c 60 3.05 1.55 0.820 70 3.33 1.59 1.046 80 3.52 1.65 1.291 90 3.38 0.47 1.665 通过数值仿真和曲线拟合, 上述表达式的误差在1%以内.当σz=0时式(22)就简化为圆概率误差, 即
{C_{EP}} = {\sigma _x}\left( {c + 0.503{a^{0.78j}}} \right). (23) 最后给出基于圆概率误差半径的误差表达式为
{R_{\rm{P}}} = R \times {C_{{\rm{EP}}}}. (24) 为了更加直观地分析各个测量值对定位误差的影响, 定义基于圆概率误差半径与大圆距离的相对误差表达式为
{R_\% } = {R_P}/d. (25) 3 仿真结果与精度分析
本节针对前文分析的结果进行仿真, 主要分析测量参数误差对定位误差的影响, 并给出典型场景下短波单站定位误差的理论结果, 同时给出理论结果与蒙特卡罗仿真的对比.
仿真1 分析方位角误差、仰角误差和电离层虚高误差对定位误差的影响.假设电离层反射发生在F1层, 虚高为180 km, 来波方位角为2°, 仰角为5°~40°.方位角误差、仰角误差和电离层虚高误差三个变量中只有一个变量发生变化, 分别为方位角误差变化范围为1°~3°(仰角误差1°, 电离层虚高误差5%), 仰角误差变化范围为1°~3°(方位角误差1°, 电离层虚高误差5%), 电离层虚高误差变化范围为2%~8%(方位角误差1°, 仰角误差1°).考察定位圆概率误差(相对误差)随地面大圆距离变化的结果, 具体如图 3所示.从仿真结果可以看出, 方位角测量误差, 仰角测量误差和电离层虚高测量误差三个变量对定位结果的影响不同, 其中仰角测量误差的影响最大, 可见它是影响单站定位误差的关键因素.
仿真2 仿真分析典型场景下的误差结果.考虑实际工程情况, 假定仰角测量误差为2°, 方位角测量误差为1°, 电离层高度测量误差为5%, 考虑电离层虚高分别为180、280、350 km, 来波方位角为2°, 仰角为5°~40°.考察定位圆概率误差(相对误差)随地面大圆距离变化的结果, 从图 4结果可以看出:误差圆概率为50%时都能满足定位相对误差小于10%的工程指标; 当误差圆概率为80%时, 就无法满足10%的工程指标, 此时只有提高仰角的测量精度.
仿真3 采用蒙特卡罗仿真验证理论推导的有效性.假设目标位置为[125°, 15°], 接收站位置为[118°, 30°].方位角测量误差1°, 仰角测量误差2°, 电离层虚高测量误差5%, 电离层虚高180 km.仿真考察概率为60%和80%时, 椭圆概率和圆概率的符合度, 仿真次数10 000次.具体仿真结果如图 5所示, 图中黑色线绘制的是误差圆, 浅灰色线绘制的是误差椭圆, 灰色点为定位结果, 五角星为目标真实位置.由仿真结果可以看出:当假设概率为60%时, 定位结果在误差椭圆内的概率为59.78%, 在误差圆内的概率为60.34%;当假设概率为80%时, 定位结果在误差椭圆内的概率为80.30%, 在误差圆内的概率为80.02%.说明无论是采用误差椭圆还是误差圆都能够较为精确地反应定位误差的结果, 而且仿真结果与理论结果误差小于1%.
4 结论
本文提出了基于圆概率误差的短波单站定位误差分析方法, 推导了椭圆概率误差和圆概率误差的定位误差数学表达式, 并重点给出了不同概率约束条件下的圆概率误差近似公式, 完整地建立了测量参数与定位误差的关系, 并通过仿真分析进一步说明了方法的正确性.与传统的定位误差分析方法相比, 该方法具有以下优点:1)该方法给出了不同概率条件下的误差表达式, 使用更加灵活, 可以满足不同定位场景和定位精度分析的要求; 2)该方法建立的相对定位误差表达式, 更加直观地反应了各测量参数与定位误差的关系, 同时也更加直观地反应了定位误差与地面大圆距离的关系.
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表 1 不同概率条件下圆概率误差曲线参数值
Pe/% m n c 60 3.05 1.55 0.820 70 3.33 1.59 1.046 80 3.52 1.65 1.291 90 3.38 0.47 1.665 
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