Parameter estimation of LFM signal based on compressed sensing
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摘要: 提出一种基于压缩感知(Compressed Sensing, CS)理论的线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号参数估计算法.考虑到LFM信号在最佳分数阶Fourier变换(Fractional Fourier Transform, FrFT)域中是稀疏信号, 对变换阶次进行粗搜索与精搜索, 利用CS恢复信号在各个阶次FrFT矩阵中的系数向量, 通过二维搜索, 得到最佳变换阶次, 进而得到信号的调频斜率和起始频率.在窄带干扰条件下, 将形态学成分分析应用于算法中, 提高了算法的抗干扰性能.实验结果表明, 在随机采样点数远低于奈奎斯特采样点数的情况下, 该算法能够准确估计信号参数, 并且对高斯白噪声和强窄带干扰不敏感.
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关键词:
- 压缩感知 /
- 分数阶Fourier变换 /
- 线性调频信号 /
- 参数估计
Abstract: A novel method based on compressed sensing (CS) is proposed to the problem of parameter estimation of linear frquency modulation (LFM) signal. Considering an LFM signal is sparse in the best fractional Fourier domain, a coarse search and a fine search is performed on the order of FrFT, and then the coefficient vectors of the LFM signal in the FrFT domain of each order is solved, finally, through threshold detection, the estimation of frequency rate and starting frequency are obtained. Under the condition of narrow-band interference, the morphological component analysis is involved in the method, which can improve the performance of the method. Experiment result shows that when the points of random projection are far less than that of Nyquist sampling, the proposed method can accurately estimate the parameter of the signal, and is insensitive to Gaussian white noise and strong narrowband interference. -
引言
线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号广泛应用于雷达、声纳和通信等系统中, LFM信号参数估计是电子战信号处理领域中一个重要的问题.在传统奈奎斯特采样框架下, 国内外学者提出了很多LFM信号参数估计的方法, 有基于最大似然[1]、短时Fourier变换和小波变换[2]、Wigner-Ville分布[3]、Radon-Wigner变换[4]、Randon-Ambiguity变换[5]和分数阶Fourier变换[6] (Fractional Fourier Transform, FrFT)等方法.以上的方法都存在一个问题, 就是在奈奎斯特采样框架下, 随着LFM信号带宽不断增大, 对信号的采样频率也越来越高, 这给战场中用于信号采集、传输和处理的硬件系统造成极大压力.虽然国内学者提出的欠采样结合解线性调频的方法[7], 对采样频率的要求降低了, 但存在频率模糊问题, 需要在后续进行解模糊的处理[8].因此, 如何寻找一种新的信号参数估计算法来降低LFM信号带宽过宽对采样系统造成的压力是目前亟待解决的问题.
压缩感知(Compressed Sensing, CS)[9-11]理论的提出给LFM信号处理问题带来了新的思路, 以往在应用CS理论进行信号处理时, 大多是以精确重构信号为目的, 然而在应用CS理论进行信号检测与参数估计时, 可以在不完全重构信号的情况下, 达到信号检测与参数估计的目的[12-15].文献[16]构造波形匹配字典, 达到LFM信号检测的目的, 但是在没有先验知识的情况下, 构造字典的参数不易选取, 而且字典原子数目过于庞大, 在利用优化算法恢复信号时, 每次都要在所有原子中遍历, 算法计算量过大, 并且在强窄带干扰情况下, 信号检测成功率不高.文献[17]提出的方法可以在强窄带干扰下估计LFM信号调频斜率, 但同样是根据信号波形构造冗余字典, 而且没有考虑调频斜率与起始频率的联合估计问题.文献[18]利用LFM信号在时频域的稀疏性, 通过重构信号的短时Fourier变换, 对信号调频斜率进行估计, 但同样不能估计信号的起始频率.
文中利用LFM信号在FrFT域的稀疏性, 提出了一种基于CS的FrFT域LFM信号参数估计算法.首先构造Fourier变换矩阵, 作为信号稀疏分解的字典, 对窄带干扰信号进行抑制; 然后利用LFM信号在最佳FrFT域中具有能量聚集的特性, 对变换阶次p进行搜索, 构造各个阶次的FrFT矩阵, 通过恢复算法得到信号在各个阶次FrFT矩阵中的系数向量; 最后通过二维搜索, 得到最佳变换阶次, 进而得到LFM信号的调频斜率和起始频率的估计.该算法用于参数估计的压缩采样点数远低于奈奎斯特框架下的采样点数, 能够减轻战场中信号采样系统的负担, 降低功耗和成本, 缓解数据存储和传输的压力, 提高战场信息传输的实时性.由于在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)情况下, LFM信号在FrFT域中仍然表现为稀疏信号, 相比利用信号波形构造字典的算法, 该算法能在更低的SNR情况下, 获得更高的信号参数估计成功概率.
1 压缩感知理论
假设复信号x∈CN是N维的列向量, 矩阵Ψ≡[ψ1, ψ2, …, ψZ]的列向量ψi(i=1, …, Z)构成复向量空间CN的一个字典, 该字典可以是一个标准正交基, 也可以是一个冗余框架, 其中Z为字典中原子的个数.信号x可以由字典Ψ展开为
\mathit{\boldsymbol{x}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} \boldsymbol{\varTheta} = }}\sum\limits_{i = 1}^z {{\mathit{\boldsymbol{\theta }}_i}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_i}.} (1) 式中, Θ=[θ1, …, θZ]T为信号x在Ψ域中的Z×1维复系数向量, T表示向量转置.若系数向量Θ中非零元素的个数K \ll N, 或者当将Θ中的元素按从大到小的顺序排列, 且其按照一定量级幂次速度衰减, 若大系数[11]个数K \ll N, 则认为信号x在Ψ域中是稀疏信号或可压缩信号, 且稀疏度为K.
CS理论的思想是如果N维信号x在某个变换基Ψ下是稀疏的或可压缩的, 且稀疏度为K, 则可以利用一个与变换基Ψ不相关的M×N(K < M \ll N)维观测矩阵Φ, 得到原信号x的压缩采样信号:
\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} x}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{\varPsi} \boldsymbol{\varTheta} }}. (2) 利用信号x的少量观测值y、变换基Ψ和观测矩阵Φ, 通过求解一个优化问题, 就能够以高概率精确恢复原始信号x[9-10].
具体的压缩采样过程可以通过模拟信息转换器(Analog to Information Converter, AIC)[19]来完成, 典型的AIC如图 1所示.对信号的处理过程主要由信号调制、滤波和均匀采样三个步骤完成.首先用伪随机序列pc(t)对输入信号x(t)进行调制, 它的取值必须满足奈奎斯特采样定理, 调制的目的是为信号重构提供必要的随机性; 然后用模拟低通滤波器h(t)对调制信号滤波, 保证信号不失真; 最后通过低速模数转换器(Analog to Digital Converter, ADC)采样得到压缩采样数据y[n].
最直观的恢复信号的方法是在Ψ中找到信号x的稀疏表示, 即找到系数向量Θ非零元素最少的解, 也即求解复系数向量Θ的最小l0范数解:
{\rm{min}}{\left\| \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }} \right\|_0}{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{\varPsi} \boldsymbol{\varTheta} }}{\rm{,}} (3) ‖·‖0表示向量中非零元素的个数.由于求解式(3)是一个NP-hard问题, 常用的解决方法是用l1范数代替l0范数对复系数向量Θ进行约束, 即
{\rm{min}}{\left\| \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }} \right\|_1}{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{\varPsi} \boldsymbol{\varTheta} }}\mathit{\boldsymbol{.}} (4) 在得到复系数向量Θ后, 通过式(1)便可获得原始信号x.
另外一种常用的算法是贪婪算法, 典型的算法包括匹配追踪(Matching Pursuit, MP)算法和改进型的正交匹配追踪[13](Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法.
2 LFM信号参数估计
2.1 FrFT的定义
从线性积分变换的角度给出FrFT的基本定义:函数f(t)的p阶FrFT是一个线性积分运算[6], 且有
{f_p}\left( u \right) \equiv \int_{ - \infty }^\infty {{K_p}\left( {u,t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t.} (5) 式中, {K_p}\left({u, t} \right) = {A_\alpha }{\rm{exp}}\left[{{\rm{j \mathit{ π} }}\left({{u^2}{\rm{cot}}\alpha - 2ut{\rm{csc}}\alpha + {t^2}{\rm{cot}}\alpha } \right)} \right], 称为FrFT的核函数, {A_\alpha } \equiv \sqrt {1 - {\rm{jcot}}\alpha } , \alpha \equiv p{\rm{ \mathit{ π} }}/2, p≠2n, n是整数.当p=4n(α=2nπ)时, {K_p}\left({u, t} \right) \equiv \delta \left({u - t} \right); 当p=4n±2(α=(2n±1)π)时, {K_p}\left({u, t} \right) \equiv \delta \left({u + t} \right).
进一步地, 为计算方便, 经变量代换, fp(u)可以表示为
\begin{array}{l} {\mathit{f}_\mathit{p}}\left( u \right) = \left\{ {{F^p}\left[ {f\left( t \right)} \right]} \right\}\left( u \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right){K_\alpha }\left( {u, t} \right){\rm{d}}t, } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<\left| p \right|<2\left( {0<\left| \alpha \right|<{\rm{ \mathit{ π} }}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\frac{{1 - {\rm{jcot}}\alpha }}{{2{\rm{ \mathit{ π} }}}}} \int_{ - \infty }^\infty {{\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\frac{{{u^2} + {t^2}}}{2}{\rm{cot}}\alpha - } \right.} \\ \left. {\;\;\;\;\;\;{\rm{j}}\frac{{ut}}{{{\rm{sin}}\alpha }}} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \ne n{\rm{ \mathit{ π} , }}\\ f\left( t \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \ne 2\mathit{n}{\rm{ \mathit{ π} , }}\\ f\left( { - t} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \ne \left( {2n + 1} \right){\rm{ \mathit{ π} }}. \end{array} \right. \end{array} (6) 由式(6)看出, 当p=1时, α=π/2, Aα=1, 此时有
{f_1}\left( u \right) = \int_{ - \infty }^\infty {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j2 \mathit{ π} }}ut}}} f\left( t \right){\rm{d}}t. (7) 可见f1(u)就是f(t)的普通Fourier变换.同样, 可以看出f-1(u)是f(t)的普通Fourier逆变换.
2.2 基于FrFt的LFM信号参数估计
单分量LFM信号x(t)可表示为
\begin{array}{l} x\left( t \right) = A{\rm{exp}}\left( {{\rm{j2 \mathit{ π} }}{f_0}t + {\rm{j \mathit{ π} }}{k_0}{t^2}} \right), \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{ - \Delta t}}{2} \le t \le \frac{{\Delta t}}{2}. \end{array} (8) 式中: A为信号幅度; k0为信号调频斜率; f0为信号起始频率; Δt为信号持续时间.将式(8)代入式(5), 得
\begin{array}{l} {X_\alpha }\left( u \right) = A{A_\alpha }\int_{ - \infty }^\infty {\exp \left\{ {{\rm{j \mathit{ π} }}\left[ {{u^2}{\rm{cot}}\alpha - 2\left( {u{\rm{csc}}\alpha - } \right.} \right.} \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left. {\left. {{f_0}} \right)t + \left( {{\rm{cot}}\alpha + {k_0}} \right){t^2}} \right]} \right\}{\rm{d}}t. \end{array} (9) 当cot α=-k0, 即α=arccot(-k0)时, 式(9)变为
\begin{array}{l} {X_\alpha }\left( u \right) = A{A_\alpha }{\rm{exp}}\left( {{\rm{j \mathit{ π} }}{u^2}{\rm{cot}}\alpha } \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta \left[ {2{\rm{ \mathit{ π} }}\left( {u{\rm{csc}}\alpha - {f_0}} \right)} \right]. \end{array} (10) 即一个LFM信号在旋转角度α=arccot(-k0)的FrFT域内表现为一个冲击函数, 具有能量聚集的特性, 该FrFT域被称为最佳FrFT域, 相应的阶次p=α/(π/2)称为最佳FrFT阶次.
对上述信号的调频斜率k0和起始频率f0的估计过程可以描述为[20]:
\left\{ {\hat \alpha , \hat u} \right\} = {\rm{arg}}\, \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\alpha , u} {\left| {{X_\alpha }\left( u \right)} \right|^2}; (11) \left\{ \begin{array}{l} {{\hat k'}_0} = - {\rm{cot}}\left( {\hat \alpha } \right)\\ {{\hat f'}_0} = \hat u{\rm{csc}}\left( {\hat \alpha } \right). \end{array} \right. (12) 实际工程中, 需要计算离散FrFT, 在经过量纲归一化[21]后信号的调频斜率k0和起始频率f0的估计式变为
\left\{ \begin{array}{l} {{\hat k}_0} = \frac{{f_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{{N - 1}}{{\hat k'}_0} = -\frac{{f_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{{N - 1}}{\rm{cot}}\left( {\hat \alpha } \right), \\ {{\hat f}_0} = \sqrt {\frac{{f_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{{N - 1}}} {{\hat f'}_0} = \hat u\sqrt {\frac{{f_{\rm{s}}^{\rm{2}}}}{{N - 1}}{\rm{cot}}\left( {\hat \alpha } \right)} . \end{array} \right. (13) 式中: fs为采样频率; N为采样点数.
3 基于CS的LFM信号参数估计
高斯白噪声中LFM信号参数估计的信号模型为
\mathit{\boldsymbol{x}} = \mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{n}}{\rm{.}} (14) 式中: s为LFM信号; n为加性高斯白噪声.利用CS对LFM信号进行参数估计的目标是通过直接处理信号的压缩采样值, 提取信号参数信息.由上节讨论可知, 对于一个给定的LFM信号, 存在一个最佳FrFT域对该LFM信号具有最好的能量聚集特性, 即在最佳FrFT域中LFM信号表现为一个冲击函数, 也就是说在最佳FrFT域中LFM信号是一个稀疏信号, 且稀疏度K=1.这恰好满足CS理论对于信号在某个变换域是稀疏信号的要求, 使利用CS理论在FrFT域内对LFM信号进行参数估计成为了可能.
受上节基于FrFT的LFM信号参数估计算法启发, 根据参数估计精度要求对FrFT的变换阶次p在[0, 2)区间内进行搜索, 分别构造各个阶次p对应的FrFT矩阵ΨFrFT_p作为信号的稀疏变换基, 此时有s=ΨFrFT_pΘs_p.由于高斯白噪声在变换域内不稀疏[13], 利用观测矩阵Φ对信号x压缩采样, 得
\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} s}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} n}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_{{\rm{FrFT}}\_p}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_{s\_p}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} n}}. (15) 利用恢复算法求解信号在各个FrFT矩阵ΨFrFT_p中的系数向量Θs_p, 即Θs(p, u).对Θs(p, u)进行二维搜索, 此时式(11)变为
\left\{ {\hat p, \hat u} \right\} = {\rm{arg}}\, \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\mathit{p}, u} {\left| {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_s}\left( {p, u} \right)} \right|^2}. (16) 根据α=pπ/2得到旋转角度的估计值{\hat \alpha }, 进而由式(13)得到信号调频斜率k0与起始频率f0的估计.
实际中, LFM信号参数估计是一个复杂的问题, 接收到的信号中常常伴随着噪声与窄带干扰的存在.此时信号模型为
\mathit{\boldsymbol{x}} = \mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{J}} + \mathit{\boldsymbol{n}}. (17) 式中: s为LFM信号; J为复正弦信号; n为加性高斯白噪声.
对阶次p在[0, 2)区间内进行搜索得到ΨFrFT_p, 再利用观测矩阵Φ对信号x压缩采样, 此时将得到
\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}\left( {\mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{J}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} n}}\\ \;\;\;\mathit{\boldsymbol{ = \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_{{\rm{FrFT}}\_p}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_{\left( {s + J} \right)\_p}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} n}}. \end{array} (18) 由式(18)看出, 通过恢复算法得到的信号系数向量Θ(s+J)_p中的元素将会受到干扰信号J的影响, 因此通过对Θ(s+J)(p, u)进行二维搜索估计信号参数时, 将会造成错误估计.
在这里我们考虑强干扰的情况, 即窄带干扰信号功率与信号功率相近或远大于信号的功率.正弦信号在Fourier变换域是稀疏信号, 因此将文献[16]中的形态学成分分析的思想引入算法中.首先构造Fourier变换矩阵ΨFFT作为信号的稀疏变换基; 然后利用OMP算法[13], 控制算法迭代次数, 迭代次数由干扰信号数目确定, 进而得到信号x在ΨFFT中占主要成份的系数向量ΘJ, 由于是在强干扰情况下, 因此由OMP算法得到的系数即为干扰信号J对应的成份, 利用式(19)可以将干扰信号成份从y中剔除:
\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{y}} - {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_{{\rm{FFT}}}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_\mathit{J}}. (19) 在剔除干扰成份后, 对余下的信号利用恢复算法求解信号在FrFT矩阵ΨFrFT_p中的系数向量Θs-p, 然后根据式(16)求得{\hat p}和{\hat u}, 进而根据α=pπ/2得到旋转角度{\hat \alpha }, 由式(13)得到信号调频斜率k0与起始频率f0的估计.
为了减少算法的计算量, 可以对p采取两步搜索的策略, 即粗搜索和精搜索.粗搜索是将p在[0, 2)范围内进行间隔较大的搜索确定峰值的大致位置pcoarse; 精搜索是在粗搜索得到的pcoarse附近进行间隔较小的搜索, 得到峰值的精确位置pfine, 进而得到角度\hat \alpha = {p_{{\rm{fine}}}} \cdot {\rm{ \mathit{ π} }}/2.
综上所述, 在高斯白噪声和强窄带干扰背景下, 基于CS的LFM参数估计算法的步骤为:
1) 获得信号压缩采样值y=Φx;
2) 构造Fourier变换矩阵ΨFFT;
3) 利用OMP算法进行有限次数迭代, 求解信号在ΨFFT中的系数向量ΘFFT, 利用式(19)去除窄带干扰信号;
4) 以精度0.02构造阶次p∈[0, 2)的FrFT矩阵\mathit{\Psi }_{{\rm{FrFT}}\_p}^{{\rm{coarse}}};
5) 利用BP算法求解信号在\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_{{\rm{FrFT}}\_p}^{{\rm{coarse}}}中的系数向量\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_{s\_p}^{{\rm{coarse}}}, 即Θcoarse(p, u), 进而得到{p_{{\rm{coarse}}}} = \mathop {\arg \max }\limits_p \left| {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_{{\rm{coarse}}}}\left({p, u} \right)} \right|;
6) 根据能量重心原理, 在\left[{{p_{{\rm{coarse}}}} - 0.01, {p_{{\rm{coarse}}}} + 0.01} \right]范围内, 以精度0.001构造FrFT矩阵\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_{{\rm{FrFT}}\_p}^{{\rm{fine}}};
7) 利用BP算法求解信号在\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_{{\rm{FrFT}}\_p}^{{\rm{fine}}}中的系数向量\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_{s\_p}^{{\rm{fine}}}, 即Θfine(p, u), 然后通过式(16)搜索得到{\hat p}与{\hat u};
8) 利用等式\hat \alpha = \hat p{\rm{ \mathit{ π} }}/{\rm{2}}和式(13)计算得到信号调频斜率k0与起始频率f0的估计值.
4 仿真实验及分析
实验中, 设信号长度N=512, 幅度A=1, 用fs=80 MHz的采样频率对信号进行模拟.利用快速Fourier变换(Fast Fourier Transform, FFT)算法直接构造N×N的Fourier变换矩阵ΨFFT作为窄带干扰信号的稀疏基.对信号的压缩采样过程是通过一个M×N维随机矩阵Φ完成的, 其中Φ的元素满足高斯分布.规定检测成功率高于95%检测有意义.
实验1 对单分量LFM信号参数估计进行数值实验.在信号中加入高斯白噪声和强窄带干扰信号, 假设有一个复正弦信号作为干扰信号, 信干比(Signal-to-Interference Ratio, SIR)为0 dB, 频率f=20 MHz, 此时{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_J}} \right\|_0} = 1, 因此步骤3中OMP算法执行一次迭代.在SNR为5 dB的情况下, 信号的调频斜率k0与起始频率f0分别取不同值时, 考察参数估计的相对误差ER:
{E_{{{\rm{R}}_{{\mathit{k}_{\rm{0}}}}}}} = \frac{{\left| {{{\hat k}_0} - {k_0}} \right|}}{{{k_0}}}; (20) {E_{{{\rm{R}}_{{\mathit{f}_{\rm{0}}}}}}} = \frac{{\left| {{{\hat f}_0} - {f_0}} \right|}}{{{f_0}}}. (21) 信号参数估计结果如表 1所示.
表 1 LFM信号参数估计结果k0/(Hz/s) \hat k0/(Hz/s) f0/Hz {\hat f}0/Hz {E_{{R_{{k_0}}}}} {E_{{R_{{f_0}}}}} 2e12 2.003 9e12 15e6 14.983e6 1.9e-3 1.2e-3 5e12 5.004 4e12 10e6 10.025e6 8.8e-4 2.5e-3 10e12 10.003 4e12 5e6 4.984 7e6 3.4e-4 3.1e-3 三组实验中, 窄带干扰信号的频率均在LFM信号带宽内.由表 1可以看出, 在高斯白噪声和强窄带干扰条件下, 当信号调频斜率与起始频率分别取不同值时, 该算法的二次搜索过程可以准确估计信号参数, 参数估计的相对误差能达到10-3量级, 且算法不受干扰信号频带范围影响.
实验2 考察文中算法在不同SNR条件下, 参数估计成功概率随压缩采样点的变化情况.设输入信号起始频率f0=10 MHz, 调频斜率k0=5×1012 Hz/s.在信号中加入窄带干扰信号, 信号参数同实验1, SIR为0 dB.压缩采样点数M从40到140以步进20变化, 在每个采样点下, 进行200次实验, 参数估计成功率为参数估计成功次数在200次实验中所占的比例, 参数估计成功标准为估计值与实际值的相对误差小于0.01.在SNR为0、3、5和10 dB的情况下, 分别考察信号参数估计的成功率.实验结果如图 2所示.
由图 2可以看出, 信号参数估计成功概率随SNR和采样点数的增大而提高.当SNR为3dB时, 采样点数M达到80, 信号检测成功率即可以达到95%以上; 而当SNR逐渐提高时, 可以在更少的采样点数时, 达到更高的检测成功率, 获得更高的压缩比.由实验2可以看到, 当SNR为3 dB, 压缩采样点数低于奈奎斯特采样点数1/4时, 信号参数估计成功率仍可以达到95%以上.
实验3 考察文中算法在不同SIR条件下, 参数估计成功概率随压缩采样点的变化情况.信号参数设置和参数估计成功概率准则同实验2.假设有两个复正弦信号作为干扰信号, 频率分别取f1=15 MHz和f2=35 MHz, 干扰信号和LFM信号频带重叠.此时满足{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }}_J}} \right\|_0} = 2, 即干扰信号J在ΨFFT中是稀疏度为K=2的稀疏信号, 因此步骤3中OMP算法执行两次迭代.在SNR为3 dB的情况下, SIR分别取0、-10和-20 dB, 分别考察信号参数估计成功率随压缩采样点数变换情况.实验结果如图 3所示.
由图 3可以看出, 在强干扰条件下, 即当SIR远小于0 dB时, 信号参数估计成功率基本不变.当压缩采样点数大于等于60时, 信号参数估计成功率能够达到95%以上, 当压缩采样点数小于60时, 信号参数估计成功率迅速下降, 同样是由于压缩采样点数过少时, 采样值中包含原信号的信息太少, 对恢复算法影响较大的原因.实验3说明文中算法对强窄带干扰不敏感, 可以在强窄带干扰中准确估计LFM信号参数.
实验4 通过蒙特卡罗实验对文中算法与文献[17]算法进行对比实验, 考察两种算法参数估计成功率随SNR和压缩采样点数M的变化情况.设信号的起始频率f0=10 MHz, 带宽B=30 MHz, 则此时对应的信号持续时间Δt=6.39 μs, 调频斜率k0=4.696 7×1012 Hz/s.
按照文献[17]算法, 根据调频斜率k0和起始频率f0构造波形匹配字典, 当压缩采样点数M=150, SNR从-10 dB到10 dB步进为2变化时, 蒙特卡罗实验200次, 两种算法信号参数估计成功率比较如图 4所示.
从图 4可以看出:在受到噪声影响条件下, 当检测成功率高于95%时, 与文献[17]算法相比, 由于LFM信号在FrFT域具有良好的稀疏性, 相同参数估计成功概率下, 文中算法允许的SNR低, 抗噪声能力较强; 在相同SNR条件下, 文中算法能获得更高的参数估计成功概率.
在SNR为-3 dB情况下, 压缩采样点数从100到200步进为20变化, 蒙特卡罗实验200次, 考察两种算法参数估计成功率, 结果如图 5所示.
由图 5可以看出:与文献[17]算法相比, 在低SNR条件下, 参数估计成功概率相同时, 文中算法需要的压缩采样点数更少, 具有更高的压缩率; 在相同采样点数条件下, 文中算法可以获得更高的参数估计成功概率.
5 结论
文中利用LFM信号在FrFT域具有稀疏性的特点, 提出一种基于CS的LFM信号参数估计新方法.在没有LFM信号先验知识的情况下, 该算法对高斯白噪声和强窄带干扰不敏感, 可以对待估计LFM信号的调频斜率和起始频率准确估计.该方法将分数阶Fourier矩阵作为LFM信号的稀疏变换基, 在达到相同参数估计成功率条件下, 较波形匹配字典的方法需要的SNR更低、压缩采样点数更少.文中算法需要对变换阶次p搜索, 计算量较大, 如何寻找一种方法来降低搜索带来的计算量, 还有待深入研究.
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表 1 LFM信号参数估计结果
k0/(Hz/s) \hat k0/(Hz/s) f0/Hz {\hat f}0/Hz {E_{{R_{{k_0}}}}} {E_{{R_{{f_0}}}}} 2e12 2.003 9e12 15e6 14.983e6 1.9e-3 1.2e-3 5e12 5.004 4e12 10e6 10.025e6 8.8e-4 2.5e-3 10e12 10.003 4e12 5e6 4.984 7e6 3.4e-4 3.1e-3 
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