0   引　言

雷达波形作为承载雷达系统信息的重要载体，其设计影响着雷达系统的定位精度、分辨率以及抗干扰等性能^[1-3]。近年来，随着认知技术和任意波形产生器的快速发展，国内外科研人员可根据不同雷达体制、目标运动特性等需求，定制化设计一些具有多种特性的雷达波形。例如，在机载雷达系统执行空空作战任务时，机载雷达与目标间相对运动速度大，动态目标雷达散射截面(radar cross section, RCS)易受到目标运动姿态、气流等因素影响^[4-7]，当同时出现多个具有不同RCS的运动目标时，弱目标容易被邻近强目标回波旁瓣遮蔽。因此，此时波形设计需要考虑低脉压旁瓣和良好多普勒容忍度两方面的特性。然而从公开文献来看，现有波形设计工作大多聚焦于低旁瓣电平^[8-16]，关于多普勒容忍度特性的研究较少，主要可分为单脉冲和多脉冲波形两方面。

在单脉冲波形方面，文献[17]借鉴线性调频(linear frequency modulation, LFM)波形斜刀刃状模糊函数的特征构造互相关函数矩阵，将波形模糊函数与期望模糊函数的差异作为代价函数，根据感兴趣的目标距离速度区间建立优化模型，并基于循环算法^[14]进行求解。所设计的波形具有斜刀刃状的模糊函数，并在感兴趣距离区间内具有较低的旁瓣电平，但是只有当多普勒频移在$1 / T$($T$为脉冲宽度)的整数倍附近时才具有较好的效果。文献[18]提出了一种应用于多发多收(multiple-input multiple-output, MIMO)雷达的正交波形设计方法，将LFM波形模糊函数作为期望模版，采用遗传算法对波形正交性和模糊函数进行联合优化，所设计的波形同时具有较低的自相关旁瓣峰值能量、互相关峰值能量和较好的多普勒容忍性。文献[19]提出了一种具有多普勒容忍性的发射波形与失配滤波器联合设计方法，以最小化发射波形和接收滤波器的模糊函数二维旁瓣电平、信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)损失、干扰信号失配滤波后的干信比、干扰信号归一化脉压峰值的加权和为目标函数建立优化问题，通过优化最小化(majorization minimization, MM)算法和交替迭代方法求解，所提方法在考虑波形的多普勒容忍性同时，还能抑制间歇采样转发干扰(interrupted sampling repeater jamming, ISRJ)，提升了干扰条件下运动目标的探测能力。然而，该方法所考虑的失配滤波体制存在SNR损失的固有缺陷。文献[20]提出了一种频率-幅度-相位联合调制的LFM噪声雷达波形设计方法，所设计的波形具有与LFM波形类似的斜刀刃状模糊函数，并且保持了随机噪声信号低截获概率(low probability of interception, LPI)的优点。然而其并未考虑对自相关旁瓣的优化，并不适用于对弱目标的探测。基于此，文献[21]借鉴随机相位低旁瓣恒模波形设计方法^[22]提出了基于修正循环算法(modified cycle algorithm new, modified-CAN)的LFM-noise雷达波形设计方法，所设计的波形是一种频率-相位联合调制波形，具有斜刀刃状的模糊函数，并且比文献[20]所提波形具有更低的自相关旁瓣电平。由于随机相位项的存在，文献[20-21]所设计的波形兼具了噪声信号的LPI性能和LFM波形的高多普勒容忍性。

在多脉冲波形方面，为了提升雷达在干扰条件下对动目标的检测能力，文献[23]提出了一种多脉冲互补序列和接收滤波器联合设计方法，以最小化发射序列和接收滤波器模糊函数旁瓣能量为目标函数建立优化问题，基于MM算法进行求解，所提方法充分考虑了多脉冲联合处理和收发联合设计的自由度，在抑制ISRJ的同时实现了对运动目标的探测。然而与文献[19]类似，该方法也存在由于失配滤波导致的SNR损失。为了提升脉间步进频信号的多普勒容忍度，文献[24]研究了步进频信号对多普勒效应敏感的机理，该文献通过减小脉冲重复间隔(pulse repetition interval, PRI)的方式提高了步进频信号的多普勒容忍性，并提出了在频率上对发射端和接收端进行异步设置的处理技术来解决因减小PRI而带来的距离模糊问题。然而该文献并没有考虑波形的低脉压旁瓣性能，并且需要额外的工作来解决距离模糊问题，增加了处理的复杂度。

以上文献均从波形设计的角度考虑多普勒容忍度特性，其中LFM波形因其良好的多普勒容忍特性常被作为优化波形的模板，然而斜刀刃状的模糊函数恰好表明LFM波形在保证一定多普勒容忍度的同时，还具有$\delta R=-c f_{{\mathrm{d}}} /(2 \mu)$($c$为光速，$f_{{\mathrm{d}}}$为多普勒频移，$\mu$为调频斜率)的测距误差^[20]，与LFM波形类似，所有具有斜刀刃状模糊函数的波形都存在测距不准的固有缺陷。而文献[25]从改变接收端处理方法的角度出发，提出了一种脉冲处理技术，该技术将长脉冲分离为多个脉宽更短的子脉冲，利用随机波形脉宽越短多普勒容忍性越好^[26]的特性提高了多普勒容忍性。

为了更加适应机载雷达的功能需求，本文考虑单脉冲波形并基于文献[25]的分段脉冲压缩处理，提出了一种面向高速目标探测的多子脉冲结构波形设计与处理方法，兼顾了低脉压旁瓣和良好的多普勒容忍度。该方法考虑恒模约束，建立以最小化距离-多普勒平面感兴趣区间的加权积分旁瓣电平(weighted integral sidelobe level, WISL)为目标函数的优化问题，引入坐标下降(coordinate descent, CD)算法^[27]进行求解。在进行回波处理时，采用了分段子脉冲压缩和子脉冲间相参积累的方法，通过仿真可知，所设计的多子脉冲结构波形能有效地实现对高速目标的探测，且比LFM波形、文献[15,17,21]所提出的波形具有更好的目标探测性能。

1   模型建立

1.1   雷达发射信号模型

多子脉冲结构波形定义为由多个独立子脉冲拼接而成的脉冲波形，每个子脉冲的频率、相位、幅度、带宽和脉宽等参数自由可调。

考虑一个由$M$个子脉冲${s_m}(t)(m = 1,2, \cdots ,M)$构成的多子脉冲结构波形$s(t)$，${s_m}(t)$和$s(t)$的数学表达式如下：

式中：$a_m(t)$、${\varphi _m}(t)$、$f_m(t)$、$\tau_m$分别表示第$m$个子脉冲的幅度、相位、频率调制函数、脉宽；$u(t)$表示Heaviside单位阶跃函数。时域和频域结构示意图如图1所示，其中$T=\displaystyle \sum_{m=1}^M \tau_m$表示脉冲总持续时长，$B_{{m}}$表示第$m$个子脉冲的带宽。

图  1  多子脉冲结构波形示意图

Fig.  1  Multi-subpulse structure waveform diagram

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由于各个子脉冲间的参数相互独立、灵活可变，可以根据需要进行调整和组合，大大增强了波形复杂性^[28-32]。例如，1) 通过频率调制，可以实现子脉冲间频率捷变，合成宽带信号，从而提高信号的LPI性能，分散干扰的能量，同时具有高距离分辨率^[32]；2) 相位参数对波形的自相关、互相关水平以及时频分布特性起着至关重要的作用，通过对子脉冲的相位进行优化可以在局部区域获得较低的旁瓣电平^[15]，从而防止弱目标被强目标遮蔽；3) 幅度调制的出现大大增强了波形的时域复杂性，它可以被视为一种功率分配技术，高能量和低能量子脉冲的交错出现可以提高波形的抗识别能力^[30]。

基于上述波形建立雷达发射信号模型，考虑到实现的硬件约束和设计的复杂性，本文在恒模约束下考虑对子脉冲进行相位调制。假设所有$M$个子脉冲具有相同的幅度、频率和脉宽。雷达发射波形${\boldsymbol{s}}$可表示为

第$m$个子脉冲的离散形式为

式中，$N$表示每个子脉冲序列的长度。在幅度和频率固定已知的情况下，子脉冲的离散形式仅由每个采样点的相位决定。

1.2   基于多子脉冲结构波形的回波处理方法

考虑一个径向速度为$v$，相对距离为$R$的点目标。其回波经过下变频，并被采样率为${f_{\mathrm{s}}}$的AD采样后，可以被表示为

式中：$a$表示回波的幅度；$u = \left\lfloor {{{2R{f_{\mathrm{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2R{f_s}} c}} \right. } c}} \right\rfloor$表示目标所在的距离单元，这里$\lfloor \cdot \rfloor$表示向下取整的运算；${f_{\mathrm{n}}}$表示由目标径向速度产生的归一化多普勒频移，${f_{\mathrm{n}}} = {{({{2v} \mathord{\left/ {\vphantom {{2v} \lambda }} \right. } \lambda })} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{2v} \mathord{\left/ {\vphantom {{2v} \lambda }} \right. } \lambda })} {{f_s}}}} \right. } {{f_{\mathrm{s}}}}}$，$\lambda$表示雷达发射信号的波长。

先后采取分段子脉冲压缩和子脉冲间相参积累的方法进行回波处理，多子脉冲结构波形处理过程框架如图2所示。

图  2  多子脉冲结构波形处理过程示意图

Fig.  2  Schematic of multi-subpulse structure waveform processing

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首先，采取分段子脉冲压缩的方法对回波序列进行处理。具体地，根据$M$个子脉冲序列构造$M$个滤波器，第$m(m = 1,2, \cdots ,M)$个滤波器表达式为

这里不妨设幅度$a = 1$，利用${{\boldsymbol{h}}_m}$进行脉冲压缩处理，脉压结果${{\boldsymbol{y}}_m}$可以写成如下形式：

式(7)中各变量的含义如下：

1) $k\left( {k = - MN + 1, \cdots ,0, \cdots ,MN - 1} \right)$代表第$k$个距离单元。

2) ${{\boldsymbol{s}}_{m,0}}$表示第$m$个子序列经过变换得到的长为$MN$的序列，其表达式为

${{{\textit{0}}}_{(m - 1)N}}$和${{{\textit{0}}}_{(M - m)N}}$分别表示长为$(m - 1)N$和$\left( {M - m} \right)N$的全零列向量。

3) ${{\boldsymbol{J}}_k} \in {\mathbb{C}^{MN \times MN}}$表示移位矩阵，第$a$行第$b$列的元素${J_k}(a,b)$定义如下：

4) ${{\boldsymbol{s}}_{{f_{\mathrm{n}}}}}$表示包含多普勒频移项的序列，表达式为${{\boldsymbol{s}}_{{f_{\mathrm{n}}}}} = {\mathrm{diag}}\left( {{\boldsymbol{p}}({f_{\mathrm{n}}})} \right){\boldsymbol{s}}$，其中

${\mathrm{diag}}\left( {\boldsymbol{p}} \right)$表示以向量${\boldsymbol{p}}$的元素为对角线的对角矩阵。

然后，进行子脉冲间相参处理，导出多子脉冲结构波形的距离-多普勒响应函数。考虑$M$个脉冲压缩结果中处于同一距离单元的采样数据${{\boldsymbol{y}}_m}\left( k \right)( m = 1,2, \cdots ,M)$，对其进行离散时间傅里叶变换(discrete time Fourier transform, DTFT)，达到积累目标处能量的效果，相参处理结果为

式中，$f$表示归一化频率。记

则多子脉冲结构波形的距离-多普勒响应函数如下所示：

根据文献[25]，子脉冲间相参处理的方法具有如下性能优势：

1) 该处理方法可以补偿分段脉冲压缩导致的增益损失，并且保持子脉冲的高多普勒容忍性。由多普勒频移带来的峰值增益损失${L_{\mathrm{P}}}$为

${f_{\mathrm{d}}} = {M/T}$为${L_{\mathrm{p}}}$的第一零点，此时的增益损失达到最大值，相比于传统全脉冲压缩处理方法(第一零点为${f_{\mathrm{d}}} = {1/ T}$)，多普勒容忍性提高了$M$倍。

2) 假设脉冲雷达在一个相干处理间隔(coherent processing interval, CPI)内发射有限个PRI固定的脉冲波形，则采用传统的脉冲-多普勒处理方法进行目标速度估计时，最大不模糊速度为

式中，${T_{{\mathrm{pr}}}}$表示PRI。而采用子脉冲间相参处理的方法进行速度估计时需要对$M$个脉冲压缩结果中处于同一距离单元的采样数据${{\boldsymbol{y}}_m}\left( k \right)(m = 1,2, \cdots ,M)$进行DTFT，相邻采样数据${{\boldsymbol{y}}_m}\left( k \right)和{{\boldsymbol{y}}_{m + 1}}\left( k \right)(m =1,2, \cdots , M - 1)$的时间间隔为子脉冲脉宽。假设所有子脉冲具有相同的脉宽，则此时的最大不模糊速度为

因此进行波形设计时，子脉冲个数$M$可以由下式确定：

式中，${v_{\max }}$表示需要探测的最大目标速度。由于${T \mathord{\left/ {\vphantom {T M}} \right. } M} < {T_{{\mathrm{pr}}}}$，与传统的脉冲-多普勒处理方法相比，子脉冲间相参积累的处理方法具有更大的不模糊测速范围。

对高速机动目标进行观测时，目标与雷达间的相对运动会产生距离走动的现象，当目标在一个相干积累时间内运动的距离超过一个距离单元时，会出现跨距离单元的问题，从而影响目标检测性能。而子脉冲间相参积累的处理方法可以在一个脉冲内完成，相比于传统的脉冲串波形具有更短的相干积累时间，这意味着更小的目标运动距离。为了避免出现跨距离单元的问题，脉宽和采样率应满足

式中，${c \mathord{\left/ {\vphantom {c {(2{f_s})}}} \right. } {(2{f_{\mathrm{s}}})}}$表示一个距离单元的宽度。根据式(18)，同时为了不发生速度模糊，${v_{\max }}$应满足

最后，对多子脉冲结构波形回波处理方法的处理复杂度进行分析。假设回波信号采样点数为${N_{\mathrm{r}}}$，速度维划分单元个数为${N_{\mathrm{v}}}$。分段子脉冲压缩可以通过快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)算法高效完成，该阶段的处理复杂度来源于三个方面：1) 回波信号和$M$个滤波器分别进行${N_{\mathrm{r}}}$点FFT，复杂度为${ O}(M{N_{\mathrm{r}}}{\log _2}{N_{\mathrm{r}}})$；2) 回波信号分别与$M$个滤波器在频域进行点乘，复杂度为${ O}(M{N_{\mathrm{r}}})$；3) 通过逆快速傅里叶变换(inverse fast Fourier transform, IFFT)将$M$个脉压结果从频域转化到时域，复杂度为${ O}(M{N_{\mathrm{r}}}{\log _2}{N_{\mathrm{r}}})$。故分段子脉冲压缩阶段的处理复杂度为${ O}(M{N_{\mathrm{r}}}{\log _2}{N_{\mathrm{r}}})$。子脉冲间相参积累阶段的处理复杂度来源于对每个距离单元的数据进行${N_{\mathrm{v}}}$点FFT，其复杂度为${ O}({N_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{v}}}{\log _2}{N_{\mathrm{v}}})$。综上所述，多子脉冲结构波形的处理复杂度为${ O}(M{N_{\mathrm{r}}}{\log _2}{N_{\mathrm{r}}} + {N_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{v}}}{\log _2}{N_{\mathrm{v}}})$。

传统全脉冲压缩的处理方法仅需进行一次脉冲压缩，通过FFT算法实现，处理复杂度为${ O}({N_{\mathrm{r}}}{\log _2}{N_{\mathrm{r}}})$，所以多子脉冲结构波形的处理方法实际上以增加额外的处理复杂度为代价达到了比传统处理方法更优的性能。

1.3   多子脉冲结构波形优化问题建模

考虑机载雷达系统执行空空作战任务的场景，此时机载雷达与目标间相对运动速度大，且空中目标动态范围大，弱目标容易被邻近大目标回波旁瓣遮蔽，为此，优化问题应该使目标附近的旁瓣电平尽可能得低，具体地，考虑如下二维区域$\varGamma$：

式中：$\left[ {{k_1},{k_2}} \right]$表示感兴趣的距离区间；$\left[ {{f_1},{f_2}} \right]$表示感兴趣的多普勒区间。建立多子脉冲处理的局部WISL函数如下：

式中，${w_k} \geqslant 0$表示第$k$个距离单元的权重。对式(21)进行离散化处理，将归一化频率区间$\left[ {{f_1},{f_2}} \right]$均匀地分割成$L$个单元，每个频率单元宽度为$\Delta f$，$F({\boldsymbol{s}})$可通过数值积分重写为如下形式：

式中，${f^l} = {f_1} + l \cdot \Delta f$。

考虑恒模约束，不妨设序列${\boldsymbol{s}}$的幅度为1，可以建立如下优化问题：

2   模型求解

为了解决非凸优化问题$\mathcal{P}_{\mathrm{WISL}}$，引入CD优化算法框架^[27]，将多维问题转化为多个一维子问题，每个子问题只优化序列${\boldsymbol{s}}$一个元素的相位，而保持其他元素相位不变。同时，为了减少求解子问题的计算量，可以将问题简化为一个三角多项式问题，在连续相位情况下可以推导出子问题的闭式解。

2.1   基于CD优化框架的高维问题转换

2.1.1   子优化问题构建

给定一个初始序列${{\boldsymbol{s}}^{(0)}}$，其表达式如下所示：

式中，${\varphi _m}(n)$表示第$m$个子序列第$n$个元素的相位。为了便于描述和简化问题，引入相位增量$\Delta \varphi$，记$\kappa = ({m_0} - 1)N + {n_0}$，定义${\boldsymbol{s}}_{m,0}^{({m_0},{n_0})}$和${\boldsymbol{s}}_{{f_{\mathrm{n}}},{f^l},m}^{({m_0},{n_0})}$如下所示：

定义

综上所述，建立以最小化${F_{({m_0},{n_0})}}\left( {\Delta \varphi } \right)$为目标函数的子优化问题$\mathcal{P}_{{\mathrm{WISL}}}^{({m_0},{n_0})}$，求解元素${{\boldsymbol{s}}_{{m_0}}}({n_0})$的最佳相位增量，具体如下：

2.1.2   子问题目标函数化简

接下来对式(27)进行化简，记

定义函数族$\left\{ {{\mathrm{t{r}}_k}({\boldsymbol{A}})} \right\}$，其中

易知

记

则

为了便于运算，类似地记

注意到${\mathcal{C}_{{f^l}}}$只有第$\kappa$行和第$\kappa$列与$\mathcal{C}_{{f^l}}^{({m_0},{n_0})}$不同，分别记为

通过以上分析，可以将多子脉冲脉间相参积累的结果仅用相位增量$\Delta \varphi$来表示，从而简化目标函数${F_{({m_0},{n_0})}}\left( {\Delta \varphi } \right)$。具体地，根据${{\boldsymbol{p}}'_{{m_0},{n_0}}}$和${{\boldsymbol{q}}'_{{m_0},{n_0}}}$构造两个长为$2MN - 1$的向量${{\boldsymbol{p}}_{{m_0},{n_0}}}$和${{\boldsymbol{q}}_{{m_0},{n_0}}}$：

注意到${{\boldsymbol{p}}_{{m_0},{n_0}}}(MN) = {{\boldsymbol{q}}_{{m_0},{n_0}}}(MN)$，记

结合式(33)～(39)可得：

1) 当$k = 0$时，

2) 当$k \ne 0$时，

利用欧拉公式$\mathrm{e}^{{{\mathrm{j}}x}}=\cos\ x+\mathrm{j}\sin\ x$，进一步可得：

${\alpha _{i,l,k}},{\beta _{i,l,k}}(i = 1,2,3,k \ne 0)$的定义如下：

考虑三角函数公式

根据式(42)、(43)可得

${\gamma _{i,l,k}}(i = 0,1,2,3,4,k \ne 0)$的定义如下：

根据式(33)、(47)，子问题$\mathcal{P}_{{\mathrm{WISL}}}^{({m_0},{n_0})}$的目标函数${F_{({m_0},{n_0})}}\left( {\Delta \varphi } \right)$可进行如下化简：

其中${\xi _i}(i = 0,1,2,3,4)$的定义如下：

综上所述，子问题$\mathcal{P}_{{\mathrm{WISL}}}^{({m_0},{n_0})}$的目标函数${F_{({m_0},{n_0})}}\left( {\Delta \varphi } \right)$可以重写为如下形式：

2.2   优化问题$\mathcal{P}_{\mathrm{WISL}}$求解

易知${F_{({m_0},{n_0})}}\left( {\Delta \varphi } \right)$是一个周期函数且在$\left[ {0,2\text{π} } \right]$上连续可导，$\mathcal{P}_{{\mathrm{WISL}}}^{({m_0},{n_0})}$至少存在一个最优解。对目标函数关于$\Delta \varphi$求导，则最优解一定是导函数的零点。

考虑到三角函数万能公式

记$x = \tan ({{\Delta \varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta \varphi } 2}} \right. } 2})$，结合式(46)可得：

只需求出${F'_{({m_0},{n_0})}}\left( x \right)$所有的零点，该问题可以转化为一个一元四次方程求根问题，利用与文献[15]同样的方法可以求出所有的解，其中使得${F_{({m_0},{n_0})}}\left( {\Delta \varphi } \right)$最小的零点就是子问题的最优解。

结合多子脉冲波形结构和处理方法，采用CD优化框架求解时，需要对如下参数进行约束：

1) 多子脉冲结构波形至少由两个子脉冲构成，同时为了保证不发生速度模糊，结合式(17)，子脉冲个数应满足

2) 本小节提出的将子问题转化为一元四次方程求根问题的求解方法适用于连续相位约束，即要求每个元素的相位应满足如下约束：

然而由于硬件系统的限制，实际中元素的相位值无法是一个连续的精确数值，而只能是有限的离散值，因此连续相位约束会导致量化误差。

综上所述，求解优化问题$\mathcal{P}_{\mathrm{WISL}}$的算法描述如算法1所示。

需要指出的是，归一化多普勒频率${f_{\mathrm{n}}}$和待优化目标区域$\varGamma$的选择依赖于目标的先验知识。当目标位于优化区域边缘时，本文所提波形的探测效果会有所下降，为了适应更多的场景，在进行波形设计时应尽可能地增大$\varGamma$的范围，然而随着$\varGamma$的扩大，最终迭代解的目标函数值会升高，优化波形性能下降。设置输入参数为：子序列个数$M = 5$，子序列长度$N = 40$，归一化多普勒频率${f_{\mathrm{n}}}{\text{ = 0}}$，迭代精度$\varepsilon=0.000\ 1$，最大迭代次数$Z = 500$，初始恒模序列${{\boldsymbol{s}}^{(0)}}$为随机相位编码信号。优化区域分别为

按照算法1进行迭代求解，不同优化区域下所得优化波形的WISL如表1所示。由表1可知，随着优化区域的增大，优化波形在感兴趣距离区间内的WISL逐渐升高。

表  1  不同优化区域下所得优化波形的WISL

Tab.  1  WISL of optimized waveform under different optimization regions

优化区域	${\varGamma _1}$	${\varGamma _2}$	${\varGamma _3}$
WISL/dB	−70.38	−38.52	−22.24

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综上所述，优化区域$\varGamma$的选择本质上是波形所适应的场景范围与WISL性能的折中考量。例如，若以感兴趣区域内自相关函数旁瓣电平的最大值不高于−25 dB为指标衡量波形性能，则在上文提出的输入参数下，当优化多普勒区域为$\left[ { - 4,4} \right] \times {10^{ - 3}}$时，最大优化距离区间应不超过$[ - 160,160]$；当优化距离区间为$[ - 60,60]$时，最大优化多普勒区间应不超过$\left[ { - 0.011,0.011} \right]$。

2.3   性能分析

本小节对所提算法的计算复杂度和收敛性进行分析。

2.3.1   计算复杂度分析

需要指出的是，子问题的求解可以归结step 3中三角函数的系数${\xi _i}(i = 0,1,2,3,4)$的构造，其计算复杂度主要来源于两方面：1) 式(39)中序列互相关函数值${\mathrm{t}}{{\mathrm{r}}_{ - k}}({\mathcal{C}_{{f^l}}})$的计算，该值可以利用FFT算法高效完成，从而降低矩阵运算的复杂度，FFT算法的计算复杂度与序列的长度有关，为$O\left(MN{\mathrm{log}}_2(MN)\right)$；2) 式(47)中系数${\gamma _{i,l,k}}$的计算，其计算复杂度与优化区域$\varGamma$的大小有关，为${O}\left( {({k_2} - {k_1})L} \right)$。本文采用的CD算法框架每一次迭代需要求解$MN$个子问题，每个子问题需要针对$L$个频点分别计算互相关函数值，又由于${k_2} - {k_1} < MN$，故本文算法的计算复杂度主要与序列长度和优化的频点个数有关，为${ O}\left( {L{M^2}{N^2}{{\log }_2}(MN)} \right)$。文献[17]基于循环算法^[14]进行迭代求解，该算法需要进行大量的矩阵乘法运算以及矩阵的奇异值分解(singular value decomposition, SVD)，假设采用与本文相同的参数，序列长度为$MN$，考虑距离单元个数为${k_2} - {k_1}$，优化频点个数为$L$，则其计算复杂度为${ O}( {{\max }^3} [ MN, ({k_2} - {k_1})L ] )$。文献[21]采用modified-CAN算法进行迭代求解，该算法没有考虑对局部区域进行优化，其计算复杂度主要来自于序列的FFT算法，假设采用与本文相同的参数，序列长度为$MN$，则其计算复杂度为${ O}\left( {MN{{\log }_2}(MN)} \right)$。

综上所述，相比于文献[17]，当$L$较小的时候，本文具有更低的算法复杂度；相比与文献[21]，本文具有更高的计算复杂度。以牺牲计算复杂度为代价，本文构建的优化问题考虑了对局部区域旁瓣电平的抑制，并且得到的波形具有比文献[17,21]更好的多普勒容忍性和高速目标探测效果。

2.3.2   收敛性分析

假设第${\textit{z}}$次迭代时子问题$\mathcal{P}_{{\mathrm{WISL}}}^{({m_0},{n_0})}$的最优解为$\Delta {\varphi _{({m_0},{n_0})}}$，易知

$\Delta \varphi = 0$表示第${m_0}$个序列的第${n_0}$个元素的相位未发生改变，此时有

综上所述，可得如下不等式：

即每次优化所得的目标函数值是一个单调递减的非负序列，因此该算法是收敛的。

3   数值仿真

本节通过数值仿真评估所提出的多子脉冲结构波形设计与处理方法对高速多目标的探测性能。多子脉冲结构波形处理过程在一个脉冲内完成，波形时宽$T$也即相参积累周期，假设具有$M = 16$个子脉冲的多子脉冲结构波形时宽为$T = 40$ μs，带宽为$B = 20\;{\mathrm{MHz}}$，采样率为${f_{\mathrm{s}}} = 40\;{\mathrm{MHz}}$，载频为${f_{\mathrm{c}}} = 3\;{\mathrm{GHz}}$，信号波长为$\lambda = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {{f_c} = 0.1\;{\mathrm{m}}}}} \right. } {{f_{\mathrm{c}}} = 0.1\;{\mathrm{m}}}}$。根据相位编码波形的性质^[23]，需要设计的码长为$BT = 800$，码字宽度为${T_{\mathrm{c}}} = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T {800}}} \right. } {800}} = 0.05$ μs，每个子序列的码字个数为$N = 50$，每个码字对应距离宽度为${{c{T_{\mathrm{c}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c{T_c}} 2}} \right. } 2} = 7.5\;\;{\mathrm{m}}$，设置二维区域$\varGamma$为

在此，将归一化频率区间$f$离散化为$L = 7$个区间。由式(61)可知，优化的距离区间为$R \in( - 90, 90)\;{\mathrm{m}}$，速度区间为$v = {{\lambda f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda f} {(2{T_{\mathrm{c}}})}}} \right. } {(2{T_{\mathrm{c}}})}} \in ( - 3\;000,3\;000) \;{\mathrm{{m / s}}}$，局部区域时间延迟为$[ - 0.6, 0.6]$ μs。根据式(61)，将权重设置为

设置算法1的最大迭代次数为$Z = 600$，退出条件为$\varepsilon = {10^{ - 4}}$，初始恒模序列${{\boldsymbol{s}}^{(0)}}$为随机相位编码信号。在进一步分析多子脉冲波形性能之前，图3给出了算法1优化WISL的迭代曲线。结果表明优化的WISL随着迭代次数的增加而单调下降，验证了所提算法的单调收敛特性。在第100次迭代时，WISL下降超过60 dB。

图  3  WISL随迭代次数变化曲线

Fig.  3  WISL vs. the number of iterations

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3.1   波形自相关旁瓣与多普勒容忍度特性分析

本小节将本文所提波形与LFM波形、WISL优化波形^[15]、模糊函数优化波形^[17]、LFM-noise波形^[21]、CAN波形^[14]等进行对比。

为了分析波形自相关旁瓣特性，定义波形的非周期自相关函数为

式中，$*$表示共轭运算。图4给出了本文设计的波形与上述对比波形的局部非周期自相关函数。可以看出本文优化波形在感兴趣距离区间内的旁瓣电平接近−110 dB，优于LFM波形、模糊函数优化波形、LFM-noise波形和CAN波形。此外，WISL优化波形的局部旁瓣电平可以达到−300 dB，但是由于实际探测场景中噪声/杂波的影响，过低的旁瓣电平并不一定能带来探测性能的提升。需要指出的是，在未优化区域，本文所提波形比LFM波形、LFM-noise波形和CAN波形具有更高的旁瓣电平，这实际上是对感兴趣区域$\varGamma$内的旁瓣进行抑制时的代价。

在分析波形多普勒容忍度特性之前，给出了常规波形的离散模糊函数为

按照图2所示的处理方式，在此将多子脉冲结构波形的离散模糊函数表示为

图  4  归一化自相关函数对比图

Fig.  4  Comparison graph of normalized autocorrelation function

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波形在某个多普勒频移${f_0}$(速度)处具有容忍性，是指模糊函数在${f_0}$处的切片中，可观察到零时延处存在一个峰值且在感兴趣的时延区间内具有较低的旁瓣^[19]。本文将存在多普勒失配的模糊函数输出与匹配的模糊函数输出之比，称为失配损失${L_{{\mathrm{main}}}}$，用于评估波形的多普勒容忍特性。${L_{{\mathrm{main}}}}$可以表示为

在此，将波形失配损失在3 dB时对应的多普勒频率定义为该波形的多普勒(速度)容忍度。图5给出了本文设计的波形与对比波形的失配损失函数。由此图可知：本文所提波形的速度容忍度为8.857 km/s。LFM波形的速度容忍度远大于本文所提波形；WISL优化波形、模糊函数优化波形、LFM-noise波形和CAN波形的速度容忍度为0.545 8 km/s，仅约为本文所提波形的1/16。在感兴趣速度区间内，本文所提波形的失配损失最大值为0.32 dB左右，小于LFM波形、WISL优化波形、模糊函数优化波形、LFM-noise波形和CAN波形；LFM-noise波形和模糊函数优化波形的失配损失呈周期性变化，只有在某些特定值的附近才具有较小的损失，限制了其实际应用。

根据图4和图5，对各类波形的WISL、感兴趣速度区间内失配损失最大值进行归纳，如表2所示。

图  5  失配损失函数对比图

Fig.  5  Comparison graph of mismatch loss function

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表  2  不同波形的WISL和[−3,3] km/s内最大失配损失

Tab.  2  WISL and the maximum mismatch loss in [−3,3] km/s of different waveforms

波形类型	WISL/dB	失配损失/dB
			本文所提波形	−107.54	0.32
模糊函数优化波形	−63.22	5.21
LFM-noise波形	−45.14	4.00
LFM波形	−24.25	0.93
WISL优化波形	−317.92	21.52
CAN波形	−47.45	21.51

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3.2   波形高速多目标探测性能分析

本小节利用本文所提波形与处理方法进行高速多目标探测，并与LFM波形、WISL优化波形^[15]、模糊函数优化波形^[17]、LFM-noise波形^[21]等采用传统全脉冲压缩的处理方式进行对比。

设置仿真场景为跟踪模式。假设已知先验信息为空间中有一个RCS较大的点目标，其与雷达的距离为${R_1} = 100\;{\mathrm{km}}$，不妨设其径向速度为${v_1} = 0\;{\mathrm{{m / s}}}$。强目标附近有一个RCS较小的弱目标，其与雷达的距离和径向速度分别为${R_2} = 100.03\;{\mathrm{km }}$和${v_2} = 1\;200\;{\mathrm{{m / s}}}$。雷达回波${{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{r}}}$可表示为

式中：${a_1}、{a_2}$分别表示目标1和目标2的回波幅度，本文设${\left| {{a_1}} \right|^2} = 60\;{\mathrm{dB }}$，${\left| {{a_2}} \right|^2} = 40\;{\mathrm{dB}}$；${u_1}、{u_2}$分别表示目标1和目标2所在的距离单元；${f_1}、{f_2}$分别表示${v_1}$和${v_2}$对应的归一化频率；${\boldsymbol{ \nu}} (n)$表示均值为0，方差为1的高斯白噪声。

图6给出了多子脉冲结构波形处理结果和两个目标速度处的截面图。由此图可知：子脉冲间相参处理结果在感兴趣的距离-速度区间内具有较低的旁瓣功率水平，接近−70 dB；高速弱目标(目标2，回波幅度为$\left|a_2\right|^2=40 \mathrm{~dB}$)也能被检测到而不会被强目标的旁瓣遮蔽，并且由于较好的多普勒容忍性，其主瓣损失仅约为0.14 dB。

图  6  多子脉冲结构波形处理结果和目标速度处的截面图

Fig.  6  Process results of multi-subpulse waveform and cross section at target velocity

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图7给出了LFM波形加窗与不加窗的处理结果。由此图可知：LFM波形常规处理方式具有较高的旁瓣，弱目标将被强目标遮蔽，无法被检测到；加窗处理虽然能有效降低旁瓣，但也会带来主瓣展宽和增益损失的缺陷，从而降低距离分辨率和SNR增益，此时主瓣损失达到6.03 dB左右，并且无法分辨出两个目标。

图  7  LFM波形探测结果

Fig.  7  Detection results of traditional LFM waveform

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图8给出了WISL优化波形^[15]、模糊函数优化波形、LFM-noise波形^[21]的探测结果。由此图可知：WISL优化波形具有较低的旁瓣，但是由于较小的多普勒容忍度，无法检测到高速目标；模糊函数优化波形能检测到两个目标，但是高速目标有1.36 dB左右的主瓣损失，高于本文所提波形，并且对高速目标的探测存在大约两个距离单元的测距误差；LFM-noise波形也能检测到两个目标，主瓣损失只有约0.39 dB，但是该波形只能进行全局优化，无法最大限度地抑制局部区域的旁瓣电平，并且对高速目标也具有测距不准的固有缺陷，存在大约一个距离单元的测距误差。

图  8  三种优化波形探测结果对比图

Fig.  8  Comparison of the detection results of3 optimized waveforms

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为了充分验证本文所提波形在高速目标探测方面的性能优势，利用本文所提波形、模糊函数优化波形和LFM-noise波形对具有不同速度的弱目标进行了目标探测。

图9给出了弱目标速度为1250 m/s整数倍时(此时多普勒频移$f_{\mathrm{d}}$为1/T的整数倍)三种波形对弱目标的探测结果。由此图可知，模糊函数优化波形和LFM-noise波形都能准确识别出弱目标，且主瓣损失最大值分别为1.25 dB和0.22 dB，而本文所提波形主瓣损失最大值为0.24 dB，与LFM-noise波形接近且优于模糊函数优化波形。模糊函数优化波形和LFM-noise波形由于其斜刀刃状模糊函数的特性，测距误差将随着目标速度增大而增大，而本文所提波形的测距误差不会随着速度变化而变化。不同速度下三种波形的测距误差如表3所示。

图10给出了当多普勒频移不是1/T整数倍时，三种波形对弱目标的探测结果。由此图可知，随着目标速度偏离1250 m/s，模糊函数优化波形和LFM-noise波形的主瓣损失将分别增加至3.73 dB和2.68 dB，并且旁瓣也会升高，探测性能快速下降。而本文所提波形的主瓣损失最大值为0.21 dB，优于模糊函数优化波形和LFM-noise波形，并且感兴趣区间内的旁瓣始终在0 dB上下，保持了较好的探测性能。

图  9  速度为1250 m/s整数倍时弱目标探测结果

Fig.  9  Detection results of weak target when its velocity is an integer multiple of 1250 m/s

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图  10  速度为1250 m/s非整数倍时弱目标探测结果

Fig.  10  Detection results of weak target when its velocity is not an integer multiple of 1250 m/s

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表  3  不同波形在不同速度下的测距误差

Tab.  3  Ranging error of different waveforms at different velocities

波形类型	−2500 m/s	−1250 m/s	0 m/s	1250 m/s	2500 m/s
本文所提波形	2 m	2 m	2 m	2 m	2 m
模糊函数优化波形	−13 m	−5 m	2 m	10 m	17 m
LFM-noise波形	17 m	10 m	2 m	−5 m	−13 m

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4   结　论

本文提出了一种面向高速目标探测的多子脉冲结构波形设计与处理方法，在该方法中，利用跟踪模式下的目标先验信息，建立恒模约束下以最小化加权积分距离-多普勒旁瓣电平为目标函数的多子脉冲结构波形优化设计问题，并且引入CD优化框架进行问题求解。

利用所设计的多子脉冲结构波形进行高速目标探测。结果表明，本文所提波形能够清晰地检测出高速目标，并且在目标附近区域有较低的旁瓣，与传统LFM波形、WISL优化波形、模糊函数优化波形和LFM-noise波形等相比，具有更好的探测效果，且其探测性能不会随着目标速度增大而下降，与上述其他波形相比具有更广泛的实用性。这体现出了所提出的优化波形及其处理方法的优势。

未来的研究工作将关注收发联合设计，以降低多普勒维的旁瓣，并且考虑不等长子脉冲的设计，扩展所提出方法的应用场景。