Sum rate optimization of cell-free mMIMO-OTFS system based on ant colony recursive search mechanism
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摘要:
该文研究了基于正交时频空间(orthogonal time frequency space, OTFS)调制的去蜂窝大规模多输入多输出(massive multiple-input multiple-output, mMIMO)系统上行链路通信中的和速率优化问题,提出一种蚁群递归搜索机制。该机制首先采用最小割分组算法实现用户分组,然后使用蚁群算法进行递归优化求解。仿真结果表明,通过运用该机制进行功率控制,其性能相比于未分组的mMIMO-OTFS系统和mMIMO-正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)系统更好。此外,移动速度对系统用户上行可达速率性能的影响研究结果表明,mMIMO-OTFS系统与mMIMO-OFDM系统的和速率性能差距随移动速度增长呈递增状态。
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关键词:
- 大规模多输入多输出(mMIMO) /
- 正交时频空间(OTFS) /
- 正交频分复用(OFDM) /
- 蚁群算法 /
- 最小割分组算法
Abstract:This paper investigates the sum rate optimization in uplink communication for cell-free massive multiple-input multiple-output (mMIMO) systems based on orthogonal time frequency space (OTFS) modulation. An ant colony recursive search mechanism is proposed, which firstly uses the minimum cut grouping algorithm to achieve user grouping, followed by recursive optimization using the ant colony algorithm. Simulation results show that by implementing this mechanism for uplink power control, the better performance is achieved compared to mMIMO-OTFS based on ungrouped and mMIMO orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) systems. Finally, the impact of mobile speed on the performance of the user uplink achievable rate of the system is studied, which shows that the performance gap between mMIMO-OTFS and mMIMO-OFDM system increases with mobile speed.
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0 引 言
长波由于在大气层中传播稳定、衰减小、穿透岩层和海水效果好,是对潜通信的重要手段[1]。目前,甚低频(very low frequency, VLF)发射系统是世界各国研究最早、最成熟和最常用的岸对潜通信手段[2],它具有通信距离远、通信深度较大、数据传输速率较高的优点。研究者们对VLF频段电磁波的辐射传播特性进行了研究[3-5]。为增强对潜通信的生存能力,需解决机动式对潜通信的难题。机载台最主要的设备是VLF发射系统,来自陆海空各方的对潜通信信号经过处理后,由VLF发射天线发送给潜艇。发射天线采用拖曳双线天线,一根天线长约10 km,另一根长约2 km,两根天线端部都系有一锥袋。需要通信时,长拖曳天线由后机舱地板上的开口放出,垂直朝下,短拖曳天线也从尾锥放出。当飞机沿着半径很小的圆圈盘旋时,天线接近垂直状态,以达到最佳通信效果。但是机载拖曳天线由于受到飞行速度、飞行姿态以及自身长度的影响,在空中存在弯曲部分,而且由于拖曳细天线长度多在千米级别,而半径多在毫米级别,使用常规时域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)方法会出现剖分网格数过多,导致计算所消耗内存量过大,超过单台计算机所能承受的程度。
为解决上述问题,本文提出一种基于时域电流-电荷连续性方程和偶极子近似模型的快速算法。偶极子近似法对研究电缆辐射、电磁兼容等问题具有重要意义。曹乐等人计算了半空间上存在高度的任意方向电偶极子的远场辐射问题[6];周丽丽等人计算了受限空间中任意方向电偶极子的远场辐射方向图[7];刘丰给出了水下拖曳天线辐射电磁波跨越海洋-空气界面的辐射特性[8]。利用偶极子近似方法要先得到拖曳细天线上的电流分布,在本文中该电流分布由FDTD弯曲细导线算法得到。1981年,Holland R等人就提出了一种细导线建模方法,在THREDE软件中引入了一组电流-电荷方程来描述空间中一段导线上电流和电荷的变化[9]。1987年,Umashankar K R等人提出了直细导线方法[10-11],并将其引入到FDTD方法中。该方法基于法拉第轮廓路径积分定律,能够很好地模拟平行于笛卡尔坐标系的通电直导线的散射情况,但无法模拟通电的弯曲细导线的散射情况。Berenger J P近年来对细导线方法的稳定性与寄生解的来源进行了讨论,提出了FDTD细导线方法的优化方法[12-13]。乔海亮等人改进了细导线模型的电流密度分配方案,实现了更准确的结果[14]。
上述文献均未考虑甚低频拖曳细天线的辐射情况,本文首先提出将时域电流-电荷方程应用到求解VLF频段的拖曳细天线的电流分布。然后,根据电流分布特点将细导线分割为若干线段,每一段可以看成通有相应VLF电流的电偶极子源。最后,根据矢量叠加原理,利用所有电偶极子辐射场得到拖曳细天线的近远区辐射场和远场方向图,并讨论了拖曳天线的最大辐射方向随计算空间的变化。
1 拖曳细天线空间场计算
1.1 弯曲细导线电流的提取方法
在FDTD方法中,细导线方法是在Maxwell方程组的基础上引入一组时域的电流-电荷连续性方程来描述空间中一段任意导线上的电流和电荷变化。如图1所示,将一段弯曲的细导线视为若干段直导线首尾相连,每一小段直导线的中点视为电流节点,两端视为电荷节点。
电流-电荷的偏微分方程为
{L∂I∂t=−Lε0εrμ0μr∂Q∂ξ+Eξ−RI∂Q∂t=−∂I∂ξ−σε0εrQ (1) 式中:I为细导线上的电流;Q为导线上单位长度内的电荷;ε0和μ0分别为真空中的介电常数和磁导率;εr、μr和σ分别为导线周围区域内的相对介电常数、相对磁导率和电导率;ξ为该段导线的法线方向的导数;Eξ为细导线上电流节点处的电场;R为导线上单位长度的电阻;L为胞内电感,其计算公式为
L=μ02π ln(ra) (2) r为场点到导线轴线的距离,a为导线的半径。
利用FDTD算法将式(1)进行离散,可以得到电流和电荷的迭代公式如下:
In+1/2ξ(m+12)=Ci1In−1/2ξ(m+12)+Ci3Enξ+Ci2(Qn(m+1)−Qn(m)) (3) Qn+1(m)=Cq1Qn(m)+Cq2(In+1/2ξ(m+12)−In+1/2ξ(m−12)) (4) 式中各个系数的表达式如下:
Ci1=2L−RΔt2L+RΔtCi3=2Δt2L+RΔtCi2=−1ε0εrμ0μrl2LΔt2L+RΔtCq1=2ε0εr−σΔt2ε0εr+σΔtCq2=−1l2ε0εrΔt2ε0εr+σΔt 将式(3)得到的电流进行插值处理,得到FDTD元胞处的电流密度,再将其代入常规FDTD算法中电场的迭代式,得
{∂Hz∂y−∂Hy∂z=ε∂Ex∂t+σEx+Jx∂Hx∂z−∂Hz∂x=ε∂Ey∂t+σEy+Jy∂Hy∂x−∂Hx∂y=ε∂Ez∂t+σEz+Jz (5) 式中,Jx、Jy和Jz分别为x、y和z方向上的电流密度。
FDTD方法中三个电场分量的迭代式为
{En+1x(i,j,k)=CeEnx(i,j,k)+Ch[Hn+1/2z(i,j,k)−Hn+1/2z(i,j−1,k)−Hn+1/2y(i,j,k)+Hn+1/2y(i,j,k−1)]+CjJxEn+1y(i,j,k)=CeEny(i,j,k)+Ch[Hn+1/2x(i,j,k)−Hn+1/2x(i,j,k−1)−Hn+1/2z(i,j,k)+Hn+1/2z(i−1,j,k)]+CjJyEn+1z(i,j,k)=CeEnz(i,j,k)+Ch[Hn+1/2y(i,j,k)−Hn+1/2y(i−1,j,k)−Hn+1/2x(i,j,k)+Hn+1/2x(i,j−1,k)]+CjJz (6) 式中,Ce、Ch、Cj分别代表电场、磁场和电流节点前的系数,
Ce=εΔt−σ2εΔt+σ2,Ch=1(εΔt+σ2)Δξ,Cj=−1(εΔt+σ2) 由此,便得到了加入细导线电流密度的FDTD电场迭代式,磁场迭代式与常规FDTD方法相同。图2所示为该细导线方法的迭代步骤以及与传统FDTD方法的结合。
1.2 任意极化电偶极子辐射场的计算
电偶极子源定义为一小段电流元Il,其长度l远远小于波长λ。在空间某一位置的任意极化方向电偶极子单元的电流密度J可表示为
\boldsymbol{J}\left(\boldsymbol{r}'\right)=\hat{\boldsymbol{e}}_{r0}Il{\text{δ}}\left(\boldsymbol{r}'\right) (7) 式中:r′为空间位置矢量; {\hat {\boldsymbol{e}}_{r0}} 为电偶极子的极化方向单位矢量;δ为冲激函数。由电流密度得到辐射场势函数为
{\boldsymbol{A}}(r) = {\hat {\boldsymbol{e}}_{r0}}Il\mu \frac{{{{\mathrm{e}}^{{\text{j}}kr}}}}{{4{\text{π}}r}} (8) 式中,r为电偶极子到观察点处的距离。
1.2.1 自由空间中电偶极子的辐射场
由辐射场势函数计算磁场的公式为
{\boldsymbol{H}} = \frac{1}{\mu }\nabla \times {\boldsymbol{A}} (9) 利用公式(8)和(9),磁场的计算公式为
{\boldsymbol{H}} = {\text{j}}kIl\left( {1 + \frac{{\text{j}}}{{kr}}} \right)\frac{{{{\mathrm{e}}^{{\text{j}}kr}}}}{{4{\text{π}}r}}\left( {{{{\boldsymbol{\hat e}}}_r} \times {{{\boldsymbol{\hat e}}}_{r0}}} \right) (10) 式中:k为波数; {{\boldsymbol{\hat e}}_r} 为电偶极子单元到观察点处的单位矢量。如图3所示,单元电偶极子位于坐标原点处(红色箭头表示),点P为空间中观测点,{\theta _0}和{\varphi _0}为电偶极子的极化方向角,\theta 和\varphi 为源点到观测点的方向角。
将式(10)中的矢量叉乘分解为
\begin{split} {{{\boldsymbol{\hat e}}}_r} \times {{{\boldsymbol{\hat e}}}_{r0}} =& \sin\; {\theta _0}\sin \;\left( {\varphi - {\varphi _0}} \right){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\theta } \\ & + \left[ { - \sin \;\theta \cos \;{\theta _0} + \cos \;\theta \sin\; {\theta _0}\cos\; \left( {\varphi - {\varphi _0}} \right)} \right]{{{\boldsymbol{\hat e}}}_\varphi } \end{split} (11) 为简化公式书写,设置中间函数如下:
G\left( r \right) = \frac{{{{\mathrm{e}}^{{\text{j}}kr}}}}{{4{\text{π}}r}} (12) {f_1}\left( {\theta ,\varphi } \right) = - \sin \;\theta \cos\; {\theta _0} + \cos\; \theta \sin\; {\theta _0}\cos \left( {\varphi - {\varphi _0}} \right) (13) {g_1}(\varphi ) = - \sin \;{\theta _0}\sin \left( {\varphi - {\varphi _0}} \right) (14) 联合式(10)和(11),可得磁场的计算公式为
{\boldsymbol{H}} = {\text{j}}kIl\left( {1 + \frac{{\text{j}}}{{kr}}} \right)G\left( r \right)\left[- {{g_1}\left( \varphi \right){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\theta } + {f_1}\left( {\theta ,\varphi } \right){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\varphi }} \right] (15) 计算电场的公式为
{\boldsymbol{E}} = \frac{{\mathrm{j}}}{{\omega \mu \varepsilon }}\left[ { - {k^2}{\boldsymbol{A}} - \nabla \left( {\nabla \cdot {\boldsymbol{A}}} \right)} \right] (16) 展开式(16),可得电场各分量的计算式为
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{E_r} = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right){p_1}\left( r \right){f_2}\left( {\theta ,\varphi } \right)} \\ {{E_\theta } = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right){p_2}\left( r \right){f_1}\left( {\theta ,\varphi } \right)} \\ {{E_\varphi } = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right){p_2}\left( r \right){g_1}(\varphi )} \end{array}} \right. (17) 式中:
\left\{ \begin{gathered} {p_1}\left( r \right) = {\frac{{\mathrm{j}}}{{kr}} + {{\left( {\frac{{\mathrm{j}}}{{kr}}} \right)}^2}} \\ {p_2}\left( r \right) = {1 + \frac{{\mathrm{j}}}{{kr}} + {{\left( {\frac{{\mathrm{j}}}{{kr}}} \right)}^2}} \\ \end{gathered} \right. (18) {f_2}\left( {\theta ,\varphi } \right) = 2\left[ {\sin\; \theta \sin\; {\theta _0}\cos\; \left( {\varphi - {\varphi _0}} \right)} \right.\left. { + \cos\; \theta \cos\; {\theta _0}} \right] (19) 任意方向电偶极子的远区场公式为
\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{E}} = {\text{j}}\omega \mu Il{{{\boldsymbol{\hat e}}}_r} \times \left( {{{{\boldsymbol{\hat e}}}_{r0}} \times {{{\boldsymbol{\hat e}}}_r}} \right)\frac{{{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}kr}}}}{{4{\text{π}}r}} \\ {\boldsymbol{H}} = {\mathrm{j}}kIl\left( {{{{\boldsymbol{\hat e}}}_{r0}} \times {{{\boldsymbol{\hat e}}}_r}} \right)\frac{{{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}kr}}}}{{4{\text{π}}r}} \\ \end{gathered} \right. (20) 同理,将式(20)中的叉乘展开,得到任意方向电偶极子的远区场公式为
\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{E}} = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right)\left[ {{f_1}\left( {\theta ,\varphi } \right){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\theta } + {g_1}(\varphi ){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\varphi }} \right] \\ {\boldsymbol{H}} = {\mathrm{j}}kIlG\left( r \right)\left[ {{g_1}(\varphi ){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\theta } + {f_1}\left( {\theta ,\varphi } \right){{{\boldsymbol{\hat e}}}_\varphi }} \right] \\ \end{gathered} \right. (21) 1.2.2 受限空间中电偶极子的辐射场
当存在多层介质时,不仅需要考虑直达波,还需要考虑反射波,下面推导给出其近区辐射场的计算公式。
如图4所示,在三层介质中,考虑电磁波的不同传播路径,观测点P处的辐射场可以视为三种场的叠加:一是直达波产生的场;二是上界面反射波产生的场;三是下界面反射波产生的场。图4中,d1为观测点与原点之间的水平距离,H为中间介质层的高度,h为电偶极子离地高度。
直达波的路径为r = d_1/\sin \;\theta ,上反射波的路径为
{r_2} = \sqrt {4{{\left( {H - h} \right)}^2} + {r^2} - 4\left( {H - h} \right)r\cos\; \theta } (22) 下反射波的路径为
{r_3} = \sqrt {4{h^2} + {r^2} + 4hr\cos \;\theta } (23) 上反射角{\theta _2} = \arcsin \left( {d_1/{r_2}} \right),下反射角\alpha = \arcsin \left( {d_1/{r_3}} \right), {\theta _3} = {\text{π }} - \alpha 。
直达波场与式(17)相同,重点为求解反射波场。下面给出求解上界面反射波场的计算过程。电偶极子关于上界面的镜像点为O′,O′处的镜像电偶极子在P点处的直达波场为
\left\{ \begin{gathered} {E_{r2}} = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_1}\left( {{r_2}} \right){f_2}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ {E_{\theta 2}} = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){f_1}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ {E_{\varphi 2}} = {\mathrm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){g_1}(\varphi ) \\ \end{gathered} \right. (24) 考虑到上界面的反射影响,应将 {{\boldsymbol{\hat e}}_{r2}} 与 {{\boldsymbol{\hat e}}_{\theta 2}} 方向的分量分解至直角坐标系下,得到的{{\boldsymbol{\hat e}}_x}和{{\boldsymbol{\hat e}}_y}方向的场量变号,{{\boldsymbol{\hat e}}_{\textit{z}}}方向的场量符号不变。反射波电场为
\left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{E}}_{r2}} = \left( { - \sin \;{\theta _2}\cos \;\varphi {{{\boldsymbol{\hat e}}}_x} - \sin \;{\theta _2}\sin \;\varphi {{{\boldsymbol{\hat e}}}_y} + \cos \;{\theta _2}{{{\boldsymbol{\hat e}}}_{\textit{z}}}} \right) \\ \times R_{\theta 2}^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_1}\left( {{r_2}} \right){f_2}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ {{\boldsymbol{E}}_{\theta 2}} = \left( { - \cos \;{\theta _2}\cos \;\varphi {{{\boldsymbol{\hat e}}}_x} - \cos \;{\theta _2}\sin \;\varphi{{{\boldsymbol{\hat e}}}_y} - \sin \;{\theta _2}{{{\boldsymbol{\hat e}}}_{\textit{z}}}} \right) \\ \times R_{\theta 2}^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){f_1}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ {{\boldsymbol{E}}_{\varphi 2}} = R_{\theta 2}^{\rm{TE}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){g_1}(\varphi ) {{{\boldsymbol{\hat e}}}_{\varphi 2}}\\ \end{gathered} \right. (25) 式中: R_{\theta 2}^{{\mathrm{TE}}} 和 R_{\theta 2}^{{\mathrm{TM}}} 分别为在上界面反射角为{\theta _2}时TE和TM波的反射率。对于入射面,TE波为电场极化方向垂直于入射面的电磁波,TM波为电场极化方向平行于入射面的电磁波,反射率的计算公式如下:
\left\{ \begin{gathered} R_{_{}}^{{\text{TM}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{{\mu _0}\sqrt {{k_{\text{t}}^2} - {{(k\sin\; \theta )}^2}} }}{{{\mu _{\mathrm{t}}}k\cos\; \theta }}}}{{1 + \dfrac{{{\mu _0}\sqrt {{k_{\text{t}}^2} - {{(k\sin\; \theta )}^2}} }}{{{\mu _{\text{t}}}k\cos\; \theta }}}} \\ R_{}^{{\text{TE}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{{\varepsilon _0}\sqrt {{k_{\text{t}}^2} - {{(k\sin\; \theta )}^2}} }}{{{\varepsilon _{\text{t}}}k\cos\; \theta }}}}{{1 + \dfrac{{{\varepsilon _0}\sqrt {{k_{\text{t}}^2} - {{(k\sin\; \theta )}^2}} }}{{{\varepsilon _{\text{t}}}k\cos\; \theta }}}} \\ \end{gathered} \right. (26) 式中:k为入射波的波数;{k_{\text{t}}}为透射波的波数;\theta 为入射角度;\varepsilon 、{\varepsilon _{\text{t}}}和\mu 、{\mu _{\text{t}}}分别为入射波所在区域与透射波所在区域的介电常数和磁导率。将{{\boldsymbol{\hat e}}_x}、{{\boldsymbol{\hat e}}_y}、{{\boldsymbol{\hat e}}_{\textit{z}}}再次分解到{{\boldsymbol{\hat e}}_\theta }、{{\boldsymbol{\hat e}}_r}方向上,则有
\left\{\begin{aligned}\boldsymbol{E}_1(P)= & \left[\cos\left(\theta+\theta_2\right)\boldsymbol{\hat{e}}_r-\sin\left(\theta+\theta_2\right)\boldsymbol{\hat{e}}_{\theta}\right] \\ & \times R_{\theta2}^{\rm{TM}}\mathrm{j}\omega\mu IlG\left(r_2\right)p_1\left(r_2\right)f_2\left(\theta_2,\varphi\right) \\ \boldsymbol{E}_2(P)= & \left[-\sin\left(\theta+\theta_2\right)\boldsymbol{\hat{e}}_r-\cos\left(\theta+\theta_2\right)\boldsymbol{\hat{e}}_{\theta}\right] \\ & \times R_{\theta2}^{\rm{TM}}\mathrm{j}\omega\mu IlG\left(r_2\right)p_2\left(r_2\right)f_1\left(\theta_2,\varphi\right) \\ \boldsymbol{E}_3(P)= & R_{\theta2}^{\rm{TE}}\mathrm{j}\omega\mu IlG\left(r_2\right)p_2\left(r_2\right)g_1(\varphi)\hat{\boldsymbol{e}}_{\varphi}\end{aligned}\right. (27) 同理可得下界面的反射波场。最终将得到的直达波场与上下界面的反射波场叠加,得到P点的总电场为
\begin{split} {E_r} = &{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right){p_1}\left( r \right){f_2}\left( {\theta ,\varphi } \right) \\ &+ \cos \left( {\theta + {\theta _2}} \right)R_{\theta 2}^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_1}\left( {{r_2}} \right){f_2}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ &- \sin \left( {\theta + {\theta _2}} \right)R_{\theta 2}^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){f_1}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ &+ \cos \left( {\theta + {\theta _3}} \right)R_\alpha ^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_3}} \right){p_1}\left( {{r_3}} \right){f_2}\left( {{\theta _3},\varphi } \right) \\ &- \sin \left( {\theta + {\theta _3}} \right)R_\alpha ^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_3}} \right){p_2}\left( {{r_3}} \right){f_1}\left( {{\theta _3},\varphi } \right) \end{split} (28) \begin{split} {E_\theta } =& {\rm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right){p_2}\left( r \right){f_1}\left( {\theta ,\varphi } \right) \\ &- \sin \left( {\theta + {\theta _2}} \right)R_{\theta 2}^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_1}\left( {{r_2}} \right){f_2}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ &- \cos \left( {\theta + {\theta _2}} \right)R_{\theta 2}^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){f_1}\left( {{\theta _2},\varphi } \right) \\ &- \sin \left( {\theta + {\theta _3}} \right)R_\alpha ^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_3}} \right){p_1}\left( {{r_3}} \right){f_2}\left( {{\theta _3},\varphi } \right) \\ &- \cos \left( {\theta + {\theta _3}} \right)R_\alpha ^{\rm{TM}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_3}} \right){p_2}\left( {{r_3}} \right){f_1}\left( {{\theta _3},\varphi } \right) \end{split} (29) \begin{split} {E_\varphi } =& {\rm{j}}\omega \mu IlG\left( r \right){p_2}\left( r \right){g_1}(\varphi ) + R_{\theta 2}^{\rm{TE}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_2}} \right){p_2}\left( {{r_2}} \right){g_1}(\varphi ) \\ &+ R_\alpha ^{\rm{TE}}{\rm{j}}\omega \mu IlG\left( {{r_3}} \right){p_2}\left( {{r_3}} \right){g_1}(\varphi ) \\[-1pt] \end{split} (30) 从上述公式形式上可以得出,单个电偶极子的辐射与电偶极子的极化方向{\theta _0}、{\varphi _0},电偶极子到观测点的距离r和方向\theta 、\varphi ,以及电偶极矩Il有关;当为受限空间时,还与反射系数有关。
1.2.3 电偶极子辐射场的叠加
同细导线算法相同,将一段弯曲导线视为若干段直导线首尾相接而成,当直导线的长度l远远小于电磁波的波长时,可以将该段直导线视为一段电偶极子,将该段直导线中点处的电流视为电偶极子的电流,且在该段直导线上电流无变化。因此,弯曲导线可以视为若干个电偶极子首尾相连,弯曲导线的辐射问题可以视为若干个不同极化方向的电偶极子辐射场叠加。图5所示为二维坐标系下弯曲导线的模拟。
为得到沿弯曲拖曳细天线分布的电偶极子阵列的辐射场,需要将所有电偶极子辐射场进行矢量叠加。在计算电偶极子单元的辐射场时,是在以电偶极子单元为原点的球坐标系下进行的。不同电偶极子在同一观测点处的场方向不同,需要先将全局坐标系转换到以电偶极子为原点的局部坐标系,即使用电偶极子首尾坐标的位置矢量之差(图6中表示为 {{\boldsymbol{r}}_2} - {{\boldsymbol{r}}_1} )得到电偶极子的极化方向矢量{{\boldsymbol{r}}_0};使用电偶极子首坐标与观测点P的位置矢量之差(图6中表示为 {{\boldsymbol{r}}_3} - {{\boldsymbol{r}}_1} )得到位置矢量{\boldsymbol{r}}。上述过程中得到的极化方向矢量{{\boldsymbol{r}}_0}的方位角为{\theta _0}和{\varphi _0}。电偶极子到观测点位置矢量{\boldsymbol{r}}的距离为r,方向为\theta 、\varphi 。电偶极矩由细导线算法得出。任意方向电偶极子在观测点处的场分量的极化方向为{{\boldsymbol{\hat e}}_r},{{\boldsymbol{\hat e}}_\theta }和{{\boldsymbol{\hat e}}_\varphi }。通过坐标变换将球坐标系下的分量转换为直角坐标系下的分量,即{{\boldsymbol{\hat e}}_x}、{{\boldsymbol{\hat e}}_y}、{{\boldsymbol{\hat e}}_{\textit{z}}}。同理对沿弯曲细导线分布的所有电偶极子的辐射场进行矢量叠加,最终得到弯曲细天线总的辐射场。
2 算例结果
2.1 弯曲细导线电流的验证
本算例利用长度为6 km的拖曳细天线来验证细导线上电流提取方法的正确性。拖曳细天线的空中姿态如图7所示。拖曳细天线位于空气中,垂度为70%,半径为1.5 mm,忽略其电阻。天线的馈源点位于计算模型的坐标原点处。FDTD网格为立方体,空间网格步长为50 m。拖曳细天线均分为100段。馈源点位于第一段的中点处,不考虑激励源内阻。激励源选择高斯脉冲波形,表达式为
{V_i}\left( t \right) = 100{{\text{exp}}\left({ - {{\left( {\frac{{t - 3T}}{T}} \right)}^2}}\right)} 式中, T=20∆t ,∆t=∆ξ/(2c)≈
41.6667 ns。本算例关心的频率为10~100 kHz。利用本文方法得到拖曳细天线输入阻抗的频响特性,结果如图8所示。输入阻抗的计算公式为
{Z_{{\text{in}}}} = \frac{{V\left( {m + 1} \right) - V\left( m \right)}}{{I\left( {m + 1 /2} \right)}} (31) 式中,m为空间节点的位置坐标。
观察图8中的两条曲线,可以看出本文细导线算法得到的输入阻抗与MoM方法吻合。
2.2 任意极化电偶极子辐射场的验证
2.2.1 单一地层半空间
在半空间的情况下,电偶极子放置在地面上方h=0.3 m处。半空间上方介质为真空,下方介质分别为理想导体与干土壤。干土壤的电磁参数为εr=4,\;\mu =1和σ=10−5。电偶极子Il=0.002 A·m,频率f=1 GHz。计算得到地面上方0{\text{°}} < \theta < {90{\text{°}} }和0{\text{°}} \leqslant \varphi < {360{\text{°}} }的辐射场\sqrt {{{| {{E_\varphi }} |}^2} + {{| {{E_\theta }} |}^2}} 的方向图(用最大值归一),图9为垂直电偶极子({\theta _0}=0°,{\varphi _0}=0°)在\varphi =0°的情况下归一化电场幅值随\theta 的变化。可以看出,在半空间中,电偶极子的远场方向图与参考文献[15-16]相同。
2.2.2 双层地层半空间
为模拟真实地层情况,设置地层介质为多层介质。其中第一层为干土壤层,介质参数为εr=10、 \;\mu =1和σ=10−3 S/m,厚度为1 m;第二层为湿土壤层,介质参数为εr=10、\;\mu =1和σ=10−3 S/m。计算得到水平偶极子以及极化方向为 \theta ={45}{\text{°}}、\varphi ={45}{\text{°}} 偶极子的远场辐射方向图,如图10和图11所示,计算结果与参考文献[17]一致。
2.2.3 受限空间
设置电偶极子电流I=0.002 A,长度l=1 m。受限空间的上空间介质参数为εr=10,\;\mu =1和σ=10−3 S/m;下空间的介质参数为εr=4,\;\mu =1和σ=10−5 S/m。受限空间高度H=70 km。利用本文方法计算100 kHz电偶极子的辐射场,得到{76.5{\text{°}} } < \theta < {90{\text{°}} },0{\text{°}} \leqslant \varphi < {360{\text{°}} }取实部的辐射场 \sqrt{\left[\mathrm{Re}\left(E_{\varphi}\right)\right]^2+\left[\mathrm{Re}\left(E_{\theta}\right)\right]^2+\left[\mathrm{Re}\left(E_r\right)\right]^2} 的方向图。
图12给出工作频率为100 kHz的不同取向电偶极子在水平受限空间的立体方向图,电偶极子均放置在离地高度h=80 m处,计算结果与参考文献[7]相同。
2.2.4 自由空间
在自由空间中,电偶极子阵列的数目为5,等间距分布在x轴上,间距d=λ/2,如图13所示。工作频率为300 MHz,偶极子极矩均为Il=0.002 A∙m。当单元间的相移为0和π/2时,所得的辐射方向图如图14所示。其中,实线为单元电偶极子乘以阵列因子得到的辐射方向图。两条曲线的对比结果验证了本文计算方法的正确性。
2.3 拖曳细天线的电流分布与输入阻抗
采用不同长度的拖曳细天线进行计算,天线长度分别为3 km和6 km。利用本文方法计算自由空间中不同长度拖曳细天线上的输入阻抗。由天线理论可知,输入阻抗出现谐振峰值的频率应为50 kHz和25 kHz,而由本文方法得到的输入阻抗在50 kHz和26.3 kHz时出现峰值,如图15所示,两种方法的计算结果一致。
由细导线算法得到不同长度拖曳细天线的电流分布,如图16所示。可以看出,电流分布符合天线理论,类似余弦函数。
下面给出受限空间中拖曳细天线的电流分布。设置FDTD计算空间如图17所示,其中上层介质的参数为εr=10、\;\mu =1和σ=10−3 S/m;下层介质的参数为εr=4、\;\mu =1和σ=10−5 S/m;中间层为空气。图18给出了分层空间中工作在25 kHz拖曳细天线上的电流分布。对比图16(b)和图18可知,空间的变化对电流趋势基本没有影响,只对电流的幅值产生影响。
2.4 拖曳细天线的辐射场
根据上述得到的拖曳细天线的电流分布,将拖曳细天线分隔成若干段,考虑到VLF电磁波波长的特点可以将每一段近似为电偶极子。将拖曳细天线的电流分为1 000段,每段长度为6 m。在每一小段偶极子单元上电流视为同相,只是电流幅值不尽相同。利用本文方法计算所有电偶极子单元产生的近远区辐射场并进行矢量叠加,得到拖曳细天线的近区辐射场和归一化远区辐射场方向图。
在自由空间中,在同一视角下观察不同长度的摇曳细天线在25 kHz的远场辐射方向图,如图19所示。可以看出,在工作频率和天线姿态不改变的情况下,天线长度在一定范围内小幅度增加不改变远 场方向图的形状,只改变了远场方向图的朝向与倾斜程度。
在半空间问题中,考虑长度为6 m细天线的远区辐射场。由于地面的加入,此时观察视角范围为0°~90°,得到的远场辐射方向图如图20所示。可以看出,在半空间问题情况下,辐射场的最大辐射方向为沿着地面传播。
在分层空间问题中,由于受上下边界的影响,观察视角范围变为60°~90°,得到的远场辐射方向图如图21所示。观察到这种状态下辐射场的最大辐射方向约在\theta = {78{\text{°}} }方向。
在近场区域,分别考虑在自由空间、半空间以及受限空间中的辐射场。空间介质参数同上,选取拖曳细天线正上方的水平截面(即xOy截面)和侧方的垂直截面(即xOz截面)来观察电场的变化情况,截面距离坐标原点10 m,小于一个波长。观察图22~24,可以看到在近场区域,随着计算空间的改变,其辐射的最大方向发生了变化。
3 结 论
本文首先联合FDTD方法和电流-电荷连续性方程计算了三维弯曲细天线VLF频段的电流分布和输入阻抗的频响特性;然后,根据VLF电流的分布特征,利用偶极子近似方法通过矢量叠加的方式得到了三维弯曲细天线在自由空间、半空间以及受限空间的近远区VLF辐射场。该方法可为VLF拖曳细天线的分析和应用提供技术支撑。
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表 1 仿真参数
Tab. 1 System simulation parameters
参数 含义 取值 {h_{{\text{AP}}}} AP天线距离地面的高度 15 m {h_{{\text{li}}}} 用户天线距离地面的高度 1.65 m D 系统仿真边界宽度 0.6 km {f_{\text{c}}},\Delta f 子载波频率,子载波频率间隔 4000 MHz,15 kHzM, N OTFS子载波数量和符号数量 512,128 {M_{\text{a}}},K AP数,用户数 100,20 I_{pk} 用户和AP之间的多径信道数 9 {V_{{\text{speed}}}} 用户最大移动速度 300 km/h \tau_{\max } 最大时延 2.5 μs {P_{\text{u}}},{P_{\text{p}}} 数据信号功率,导频信号功率 100 MW,200 MW F 噪声图样 9 dB {X_{{\text{max}}}},{X_{{\text{min}}}} 路径参数上边界,下边界 1,10−2 \rho 信息素蒸发系数 0.8 {N_{{\text{iter}}}} 最大迭代次数 65 L 干扰度量计算考虑的AP数 30 {G_{\text{n}}} 用户分组数 5 {P_{\text{0}}} 转移概率常数 0.3 {s_{{\text{step}}}} 局部搜索步长 0.05 {N_{{\text{ant}}}} 全局/分组蚁群算法蚂蚁数量 200/40 -
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