引　言

布喇格结构作为构成谐振腔的主要组成部分，在回旋自谐振脉塞(cyclotron autoresonance maser, CARM)、太赫兹自由电子激光（free-electron laser, FEL）、高功率微波和太赫兹表面波振荡器等器件中都有广泛的应用^[1-8]. 布喇格结构主要有波导和同轴等形式，文献[6-7]采用波导型布喇格反射腔对高功率太赫兹表面波振荡器进行结构优化，本文主要研究同轴布喇格结构. 布喇格结构周期性边界条件的选频特性所形成的禁带或者通带，可用来制作反射器、滤波器和模式转换器等器件^[4]. 当带宽越窄时，选频特性就越好，可用作反射器构造谐振腔；当带宽越宽时，滤波范围就会越宽，可用作滤波器. 耦合波理论是研究布喇格结构电磁特性的极为有效的方法，在前期研究讨论多波耦合理论使用范围时，在建立耦合波方程组的过程中，波纹开槽深度一般选择远小于圆柱布喇格反射器的平均半径、波纹周期^[9-10]. 然而，在一些实际应用中，布喇格结构的开槽会比较深，对布喇格结构的带宽和中心频率偏移会有较大影响. 尤其对于工作于太赫兹频段的大尺寸布喇格结构，过模（over-mode）工作导致的带隙重叠现象对模式的纯度造成极大的影响. 将同轴布喇格结构外导体内壁和内导体外壁相对于其对称轴加正负坡度角构成锥形坡度结构的研究表明，加不同坡度方式和不同坡度角不仅对较低频率单模工作时带宽有明显影响^[10-11]，而且对较低频率耦合模工作时竞争模式的中心频率点偏移也有影响^[12-15]，选择合适加坡度方式，可以很好抑制带隙重叠，改善其作为反射器或滤波器的性能.

近几年，有对较低频率带有锥度结构的同轴开槽布喇格反射器^[10-15]以及波纹误差对同轴布喇格结构反射特性的影响进行研究^[10]，但很少有对太赫兹频率（0.35 THz）高阶耦合模式坡度结构特性进行研究，而带宽的宽窄和中心频率偏移的多少是同轴布喇格结构中很重要的特性，直接影响其作为反射器或滤波器的性能以及能否实现单模传输. 本文将研究开槽深度和开槽坡度形状及坡度角对工作于太赫兹频率高阶耦合模式同轴布喇格结构带宽和中心频率偏移的影响，以期通过设计合适的参数，拓宽其作为反射器或滤波器的用途，抑制过模工作状态所产生的带隙重叠，构建高品质因数Q、高频高阶高功率的单模谐振腔.

1   理论模型分析

同轴布喇格结构剖面图^[9]如图1所示，正圆锥形坡度和倒圆锥形坡度结构^[11]如图2所示. 在图1中，结构外导体内壁各点到同轴布喇格结构对称轴线的外壁半径R_out和结构内导体外壁各点到同轴布喇格结构对称轴线的内导体半径R_in可分别表示为随z变化的关系：

而在图2坡度开槽同轴布喇格结构中^[11]有：

图1～2、式(1)～(4)中：$L$为结构长度；${a_0}$和${b_0}$、${l_{\rm{out}}}$和${l_{\rm{in}}}$、${\varphi _{\rm{out}}}$和${\varphi _{\rm{in}}}$、${p_{\rm{out}}}$和${p_{\rm{in}}}$、${\theta _{\rm{out}}}$和${\theta _{\rm{in}}}$分别为内外导体壁的平均半径、开槽深度、初始相位、波纹周期和坡度角；${k_{\rm{out}}} = {{2{\text{π }}} / {{p_{\rm{out}}}}}$；${k_{\rm{in}}} = {{2{\text{π }}} / {{p_{\rm{in}}}}}$.

图  1  同轴布喇格结构剖面图

Fig.  1  Sectional view of coaxial Bragg structure

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图  2  坡度开槽同轴布喇格结构剖面图

Fig.  2  Sectional view of coaxial Bragg structure with taper

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中心频率偏移$\Delta f$定义为同轴布喇格反射器设计传输系数为最大值时对应的中心频率${f_0}$与相关参数改变后得到的实际中心频率$f_0'$之差的绝对值，即

通过耦合模微分方程组可求解在同轴布喇格结构反射器内传输的电磁场，采用四阶龙格-库塔数值求解法和正交直角三角形（quadrature right-triangle，QR）算法可求出特征值及相应的特征向量，再利用迭代改善的算法对线性方程组进行高精度的求解^[9]. 具体分析方法和理论在文献[9, 16]中已有详细的介绍，相关的耦合模公式也有详细的推导，各种模式耦合方程可通过有限差分法求解. 基于耦合模理论，本文利用FORTRAN高级语言程序编写代码进行非线性数值模拟实现开槽深度和开槽坡度形状及坡度角对工作于太赫兹频率高阶耦合模式同轴布喇格结构的带宽和中心频率偏移的影响. FORTRAN编程理论模拟结果与实验测试结果的一致性已得到实验验证^[17]，但对工作于太赫兹频率的同轴布喇格结构特性，由于实验条件、实验测试环境、测试仪器精度等因素影响，目前实验测试不能完成，只能通过所编写的可行计算程序进行模拟研究. 在本文仿真过程中，布喇格反射器的内外导体材料均假设为理想材料（无耗材料），暂不考虑反射器的损耗.

前期研究发现，在同轴布喇格结构内外导体初始相位差${\delta _{\varphi} }{\rm{ = }}\left| {{\varphi _{\rm{in}}} - {\varphi _{\rm{out}}}} \right| = {\rm{\text{π} }}$时，工作模式和竞争模式的带隙重叠现象可以有效分离，获得高反射率^[9-14]. 因此，在此文接下来的研究中，都设置初始相位差为${\rm{\text{π} }}$.

2   开槽深度对带宽和中心频移的影响

工作于太赫兹高次耦合模的同轴布喇格结构在CARM方面有潜在的应用. 根据布喇格结构条件，设计中心频率为0.35 THz的工作模式TE₆₁和主要竞争模式TM₆₂，外导体平均半径${a_0}$=10 mm，内导体平均半径${b_0}$=7.0 mm，内外导体波纹开槽${p_{_{\rm{out}}}}{\rm{ = }}{p_{\rm{in}}} = 0.43\;{\rm{mm}}$，同轴布喇格结构长度L=85.57 mm，内外导体初始相位差${\delta _{\varphi} }{\rm{ = }}\left| {{\varphi _{\rm{in}}} - {\varphi _{\rm{out}}}} \right| = {\rm{\text{π} }}$，开槽深度${l_{\rm{out}}}$=${l_{\rm{in}}}$=0.01 mm，0.015 mm，0.02 mm和0.025 mm. 由于同轴布喇格结构内外导体开槽加载汉明窗技术会对频率响应的残余旁瓣起到很好的抑制作用^[10-14]，本文仿真过程中也加载汉明窗来抑制残余旁瓣.

图3是不同纹波开槽深度下反射率随频率变化的曲线图. 其中设计工作模式TE₆₁的初始中心频率为0.35 THz，竞争模式TM₆₂的中心频率为0.357 THz. 由FORTRAN程序编写代码模拟仿真的后台数据可得不同开槽深度时对应于工作模式TE₆₁和竞争模式TM₆₂的不同频率如表1所示，由此可得纹波开槽深度与0.35 THz下带宽的关系如图4所示.

图  3  不同纹波开槽深度反射率随频率变化的曲线图

Fig.  3  The curve of frequency response with different ripple depths

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表  1  不同开槽深度工作模式和竞争模式的频率

Tab.  1  Frequency of operating mode and competing mode with different ripple depths THz

开槽 深度/mm	工作模式TE61				竞争模式TM62
	${f_0}$	${f_{\rm{L}}}$	${f_{\rm{H}}}$		${f_0}$	${f_{\rm{L}}}$	${f_{\rm{H}}}$
0.010	0.350 0	0.348 45	0.351 21		0.357 1	0.355 35	0.358 75
0.015	0.350 3	0.347 59	0.351 65		0.357 0	0.354 52	0.359 28
0.020	0.351 4	0.346 74	0.351 94		0.356 9	0.353 79	0.359 56
0.025	0.351 8	0.346 05	0.352 52		0.356 7	0.353 43	0.359 55

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图  4  带宽随开槽深度变化曲线

Fig.  4  The curve of bandwidth changing with different ripple depths

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由图3(a)和图4可以看出：未加载汉明窗时，改变纹波开槽深度，工作在太赫兹频率耦合模式中工作模式TE₆₁和竞争模式TM₆₂的带宽随着纹波开槽深度的加深而逐渐变宽；当槽深增加到一定程度(0.025 mm)，会出现工作模式和竞争模式的带隙重叠，不利于模式的选择；随着槽深增加竞争模式的加宽趋势相比工作模式逐渐减慢，而他们的中心频率点偏移较小. 由图3(b)可看出加载汉明窗后，频率响应的残余旁瓣得到了有效抑制，但在开槽波纹深度较浅时(0.01 mm)，工作模式和竞争模式反射率衰减也很大，工作模式的反射率才达到0.6左右，因此，加窗技术应选择在开槽深度较深的情况. 所以，在太赫兹频率耦合模式下，应根据实际需要选择纹波深度和加窗技术. 如果作为反射器，尽量选择较小波纹开槽深度；如果作为滤波器，尽量选择较大波纹开槽深度，并加载汉明窗技术消除残余旁瓣现象.

3   坡度对带宽和中心频率偏移的影响

坡度开槽同轴布喇格结构可以改善同轴布喇格结构作为反射器或滤波器的性能^[10-15]. 在文献[10-15]中，主要是对较低频率单模（工作频率15 GHz和100 GHz）带有锥度结构的同轴开槽布喇格结构特性进行研究，本文对较高频率(工作频率0.35 THz)高阶耦合模式坡度同轴布喇格结构特性进行研究. 图5是不同坡度角正圆锥形坡度同轴布喇格结构反射率随频率变化的曲线图，其主要参数同第2节. 选择开槽深度为0.02 mm，坡度角分别为0.1°，0.2°，0.3°和0.4°. 图6是带宽和中心频率偏移随坡度角变化的曲线图.

由图5和图6可知：当对同轴布喇格结构采用正圆锥形坡度时，随着坡度角的增大，工作模式TE₆₁和竞争模式TM₆₂的带宽都变窄，但变化范围不大；工作模式中心频率点几乎没发生偏移，但竞争模式中心频率偏移量较大，且靠近工作模式中心频率点，带隙重叠现象恶化，不利于模式选择.

图  5  不同坡度角正圆锥形结构反射率随频率变化曲线

Fig.  5  The diagram of frequency response of positive taper ripples structure with the different gradient angles

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图  6  带宽和中心频率偏移随正圆锥形结构坡度角变化曲线

Fig.  6  Relationship between the different gradient angles of positive structure and the centre frequency shift

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图7是不同纹波开槽坡度角下倒圆锥形坡度同轴布喇格结构反射率在不同坡度角时随频率变化的曲线图，图8是带宽和中心频率偏移随坡度角变化的曲线图. 由图7和图8可知：工作模式TE₆₁和竞争模式TM₆₂的带宽会随着坡度角的增加而逐渐拓宽，但变化率都不是很大，二者变化趋势近似；工作模式的中心频率点也没发生明显偏移，但竞争模式的中心频率点值逐渐变大且远离工作模式的中心频率点，这样可以很好地抑制工作模式和竞争模式之间的带隙重叠现象；随着坡度角的增大，工作模式和竞争模式的反射率也都略有增大；加载汉明窗技术可以很好地抑制残余旁瓣，且对工作模式和竞争模式的反射率影响较小. 由图5～8可知，为了更好地拓宽同轴布喇格结构作为反射器或滤波器的用途，应选择坡度角较大的加载汉明窗函数技术的倒圆锥型坡度同轴布喇格结构，可以很好地抑制带隙重叠现象，减弱竞争模式对工作模式的影响，实现高频高阶模式的单模传输. 但坡度角会受到倒圆锥型同轴布喇格结构尺寸的限制，不能设置得太大.

图  7  不同坡度角倒圆锥形结构反射率随频率变化曲线

Fig.  7  The diagram of frequency response of negative taper ripples structure with the different gradient angles

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图  8  带宽和中心频率偏移随倒圆锥形结构坡度角变化曲线

Fig.  8  Relationship between the different gradient angles of negative structure and the centre frequency shift

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4   结　论

基于耦合模式理论和FORTRAN高级编程语言编程，比较研究了不同纹波开槽深度、不同坡度形状和坡度角对工作在太赫兹频率耦合模式下同轴布喇格结构的带宽和中心频率点偏移的影响. 对数据进行分析，得出以下两点结论:

1)随着纹波开槽深度的增加，工作模式和竞争模式的带宽逐渐变宽，但工作模式带宽的增加趋势大于竞争模式，二者中心频率点偏移都很小. 当波纹开槽深度较大时，带隙重叠现象会恶化，不利用模式的选择. 在同轴布喇格结构用作波纹开槽深度较大的滤波器时，最好加载汉明窗技术消除残余旁瓣现象.

2)随着坡度角的增大，正圆锥形坡度同轴布喇格结构工作模式和竞争模式的带宽都逐渐变窄，带宽随坡度角的变化影响较小，竞争模式的中心频率点发生偏移并靠近工作模式中心频率点，带隙重叠现象恶化，不利于模式的选择；随着坡度角的增大，倒圆锥型同轴布喇格结构工作模式和竞争模式的带宽都逐渐变宽，竞争模式的中心频率点发生偏移并远离工作模式的中心频率点，带隙重叠现象得到很好的抑制，有利于模式的选择. 加窗技术可以很好地抑制残余旁瓣现象.

因此，为了更好拓展同轴布喇格结构作为反射器或者滤波器的性能，可根据实际需要选择合适的开槽深度、加坡度方式和合适的坡度角，有效抑制带隙重叠现象，减弱残余旁瓣对频率响应的影响，提高模式频率的选择性，以实现太赫兹频段高阶模式单模工作.