0   引　言

地球周围大气不同于真空，光波在其中传播时发生大气折射效应，引起光波传播时延和路径弯曲（亦称蒙气差），其是外弹道测量精度的一个重要误差源。对外弹道光学测量设备进行折光修正，首先要获取传播链路上的大气折射率分布。工程中常用的调制光波大气折射率$N$的计算公式如下^[1-2]：

式中：$f(\lambda ) = 0.9650 + \dfrac{{0.0164}}{{{\lambda ^2}}} + \dfrac{{0.000228}}{{{\lambda ^4}}}$，$\lambda$为光波的波长(μm)；$P$为气压(hPa)；$T$为开氏气温(K)；$e$为水汽压(hPa)。

在靶场外弹道事后数据处理中常利用气象探空采集的气象参数剖面，根据式(1)换算得到光波大气折射率剖面^[3]，而完成一次气象探空需要30 min以上，且不是所有地区都具备气象探空的条件。

在电波大气折射误差修正数据处理中，对于无法获取实测探空剖面的情况，常利用大气（折射率）剖面模型预测电波大气折射率剖面，国内外学者在电波大气折射率剖面模型方面取得了诸多研究成果^[4]，而光波大气折射率剖面模型方面的研究成果相对较少。文献[5-6]提出先构建气压和气温剖面模型，再换算得到光波大气折射率剖面的方法，是一种间接对光波大气折射率建模的方法；文献[7]建议用分段模型（也称三段模型）来预测光波大气折射率剖面，其是一种直接对光波大气折射率建模的方法，该模型根据大气折射率随高度的统计变化趋势构建，是电波大气折射误差修正工程应用中一种常用的剖面模型^[4]，但缺乏物理基础。

根据经典光波大气折射率计算公式和ITU-R建议书中水汽密度经验公式^[8]，借鉴Hopfield折射率静力项剖面模型^[9]和ITU-R建议书中水汽密度剖面模型^[8]，给出一种光波大气折射率剖面模型构建方法。将电波大气折射率剖面模型方面的部分优秀研究成果引用到光波领域，为仿真和评估光波大气折射效应的工程应用（如光学精密测量、光学测控与定位等）提供了技术参考，尤其对不具备气象探空条件的情况。

1   光波大气折射率剖面模型

ITU-R P.835建议书中给出水汽压$e$与水汽密度${\rho _{\text{w}}}$(g/m³)的经验换算公式如下^[8]：

记$k = 80.343f(\lambda )$，根据式(1)和(2)可以将调制光波大气折射率计算公式改写为

式中：N_h为折射率静力项；N_w为折射率湿项。

1.1   光波大气折射率静力项剖面模型

根据大气静力学方程^[10]

结合干空气的状态方程

得到大气折射率静力项^[9]表达式为

式(4)~(6)中：$\rho$为大气密度(g/m³)；$g$为重力加速度(m/s²)；${R_{\text{d}}}$为干空气气体常数，${R_{\text{d}}}$=0.287 kJ/(kg·K)。

假定对流层中气温随高度近似线性变化，即

式中：${T_{\text{s}}}$为海平面处的开氏气温(K)；$\;\beta$为气温随高度的变化梯度(K/km)。

进一步，可推导出Hopfield折射率静力项剖面模型为

式中：$N_{\text{h}}^{\text{s}} = k{{{P_{\text{s}}}}}/{{{T_{\text{s}}}}}$为海平面折射率静力项(N单位)；${H_{\text{h}}} = - {{{T_{\text{s}}}}}/{\beta }$为静力项等效高度(km)；幂指数$\eta = - 1 - {g}/({{{R_{\text{d}}}\beta }})$。

取$\;\beta$=−6.81 K/km、$g$=9.806 m/s²，则$\eta$=4.02≈4，并以地面海拔高度${h_0}$为起始高度，即得通用Hopfield折射率静力项剖面模型^[11]为

式中：$N_{\text{h}}^0$为地面折射率静力项(N单位)；${h_0}$为地面海拔高度(km)；静力项等效高度${H_{\text{h}}}$=40.136+0.14872${t_0}$ (km)，${t_0}$为地面摄氏气温(℃)。

由式（9）可以看出，通用Hopfield折射率静力项模型未考虑同温层（即$\;\beta$=0）的情况。由式(4)~(6)可推导出该种情况下折射率静力项剖面模型^[12]为

式中：$N_{\text{h}}^{\text{t}}$为同温层起始高度处的折射率静力项(N单位)；${h_{\text{t}}}$为同温层起始高度(km)；${H_{\text{t}}} = {{{R_{\text{d}}}{T_{\text{t}}}}}/{g}$为同温层特征高度(km)，${T_{\text{t}}}$为同温层气温(K)。

综上，根据气温随高度的变化梯度是否等于0，可得如下光波大气折射率静力项剖面模型：

式中：$i$为高度分层第i层；$h_0^i$和$h_{\text{t}}^i$为第i层起始高度(km)；$N_0^i$和$N_{\text{t}}^i$为起始高度处的折射率静力项(N单位)；$H_{\text{h}}^i$和$H_{\text{t}}^i$分别为第i层静力项等效高度和同温层特征高度(km)；${\eta _i}$为各非同温层剖面模型中的幂指数；$\;{\beta _i}$为第i层气温随高度变化梯度(K/km)。

1.2   光波大气折射率湿项剖面模型

ITU-R P.835建议书给出水汽密度${\rho _{\rm{w}}}$随高度变化的统计模型如下^[8]：

式中：$\rho _{\text{w}}^{\text{0}}$为地面水汽密度(g/m³)；$c$为水汽密度随高度的指数衰减系数(1/km)。

结合式(3)，得到如下光波大气折射率湿项剖面模型：

式中：${h_{\text{T}}}$为对流层顶高度(km)。

2   剖面模型参数获取方法

由式(11)和(13)可以看出光波大气折射率剖面模型的关键参数有：不同高度分层及其对应的气温随高度变化梯度和水汽密度指数衰减系数。

地面至60 km之间高度区域大气层中气温、气压和大气密度的大致变化趋势如图1所示^[8]。

图  1  气温、气压和大气密度参考剖面

Fig.  1  Reference profile of temperature, pressure and air density

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2.1   最大探空高度以下剖面模型参数

常规的气象探空的最大探测高度一般在30 km左右，最大探空高度以下剖面模型参数可以从气象探空数据中提取。

利用青岛地区1986—1995年的历史特性层^[13]气象探空数据，提取各气象探空剖面的对流层顶高度h_T、对流层气温随高度变化梯度（记为$\;{\beta _{\text{T}}}$）、逆温层气温随高度变化梯度（记为$\;{\beta _{\text{I}}}$）和水汽密度指数衰减系数$c$，这些剖面模型参数随时间的变化情况如图2所示。

从图2可以看出各剖面模型参数具有较强的年度周期变化规律，可用形如式(14)的逐日变化统计模型表征^[14]：

图  2  青岛地区各气象剖面参数随时间的变化

Fig.  2  Meteorological parameters vs. time in Qingdao

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式中：$\xi$为剖面模型参数（h_T、$\;{\beta _{\text{T}}}$、$\;{\beta _{\text{I}}}$和$c$）；${\xi _0}$为剖面模型参数均值；$\Delta \xi$为剖面模型参数变化幅度；${\text{DoY}}$为年积日；${\text{Do}}{{\text{Y}}_{\text{0}}}$为剖面模型参数最小值对应的年积日。

表1给出的是1986—1995年青岛地区各剖面模型参数的统计系数，取${\text{Do}}{{\text{Y}}_{\text{0}}}$=10。

表  1  1986—1995年青岛地区各剖面模型参数的统计系数

Tab.  1  Coefficients of profile model parameters in Qingdao (1986−1995)

模型参数	${\xi _0}$	$\Delta \xi$
${h_{\text{T}}}$/km	12.681	−2.806
${\beta _{\text{T}}}$/(K·km−1)	−5.650	0.425
${\beta _{\text{I}}}$/(K·km−1)	2.095	−0.853
$c$/km−1	−0.619	0.058

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2.2   最大探空高度以上剖面模型参数

统计表明^[4]：30 km高度以上空域常年比较稳定。参考标准大气中给出的参考值^[8]见表2。

表  2  30 km以上气温随高度变化梯度参考值

Tab.  2  Reference temperature lapse rates above 30 km

高度层/km	气温随高度变化梯度/(K·km−1)
32~47	2.8
47~51	0
51~71	−2.8

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利用中国电波传播研究所激光雷达2008—2009年在青岛地区采集的中层大气观测数据，统计得到了青岛地区中层大气平均温度与参考标准大气的对比曲线^[15]，如图3所示。

从图3可以看出30 km以上高度的平均气温随高度的变化曲线与参考标准大气的曲线基本平行，说明该高度层中气温随高度的变化梯度与参考标准大气相当。由此，对于30 km以上高度区域，剖面模型参数可以采用参考标准大气的参考值。

图  3  青岛地区中层大气平均温度变化趋势(2008—2009年)

Fig.  3  Average temperature variation trend of middle atmosphere in Qingdao(2008−2009)

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3   结果与分析

取$\lambda$=9 μm，将利用实测探空数据换算的折射率剖面视为真实剖面。将折射率静力项采用式(9)通用Hopfield静力项剖面模型、折射率湿项采用式(13)剖面模型的预测剖面模型，简称为通用Hopfield模型；折射率静力项采用式(11)剖面模型、折射率湿项采用式(13)剖面模型的预测剖面模型，简称为本文模型，分别统计两种模型预测剖面与真实剖面的均方根误差（root mean square error, RMSE）：

式中：${E_{{\text{RMS}}}}$为统计RMSE(N单位)；$n$为实测探空高度点的数目；$P_{\text{M}}^i$和$P_{\text{R}}^i$分别为模型预测剖面和实测探空剖面。

青岛地区不同月份两种模型预测剖面与实测探空剖面的RMSE统计结果如图4所示。

取500 m为一个高度步长，统计了地面至35 km高度范围内两种模型预测剖面与实测探空剖面的RMSE结果，如图5所示。

从图4和图5可以看出：

1）两种剖面模型在夏季的预测精度优于其他季节；

2）通用Hopfield模型假定${H_{\text{h}}}$高度以下气温均线性递减，导致在对流层顶高度以上，随着高度的增加，预测精度有所降低；

3）本文模型在对流层顶高度以下利用了当地的剖面模型参数模型，在对流层顶高度以上根据气温随高度变化特征进一步分层建模，使得本文模型具有更高的预测精度。

图  4  青岛地区不同月份两种模型预测剖面和实测剖面的统计RMSE (1986—1995年)

Fig.  4  RMSE of predicted and measured profile comparison by 2 models in different months in Qingdao(1986−1995)

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图  5  青岛地区不同高度两种模型预测剖面和实测剖面的统计RMSE (1986—1995年)

Fig.  5  RMSE of predicted and measured profile comparison by 2 models at different heights in Qingdao(1986−1995)

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4   结　论

根据经典光波折射率计算公式和ITU-R建议书中水汽密度经验公式，给出了一种新的光波大气折射率计算公式形式；同时，借鉴Hopfield折射率静力项剖面模型和ITU-R建议书中水汽密度剖面模型，给出了一种基于历史气象探空数据构建光波大气折射率剖面模型的方法，构建的模型是一种有一定物理基础的半理论模型。以青岛地区为例，利用历史气象探空数据并结合参考标准大气，构建了适合当地的光波大气折射率剖面模型，通过统计模型预测剖面与实测探空剖面的RMSE，验证了建模方法的可行性和有效性需要说明的是：

1) 青岛地区的剖面模型参数是基于1986—1995年特性层的历史气象探空数据获得的，数据源不同，得到的各模型参数会有所不同；

2) 在实际工程应用中，如果没有当地的历史气象探空数据，可以利用附近气象观测站点的探空数据进行建模；

3）如果既没有当地或附近站点的历史气象探空数据，又未知当地的各模型参数的参考值，可以考虑用参考标准大气中的模型参数参考值建模或利用通用Hopfield模型预测光波大气折射率剖面。